導(dǎo)語(yǔ)：如何才能寫(xiě)好一篇向量平行公式，這就需要搜集整理更多的資料和文獻(xiàn)，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

關(guān)鍵詞：橋梁 連續(xù)箱梁 貝雷桁架式掛籃 施工

隨著我國(guó)高速公路，城市市政基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)的發(fā)展，鋼筋混凝土連續(xù)箱梁橋，連續(xù)剛構(gòu)橋常被采用，隨之而來(lái)的連續(xù)箱梁施工方法因各項(xiàng)目工程的特點(diǎn)而多樣，特別是平行貝雷桁架式掛籃以其結(jié)構(gòu)輕巧，拼裝簡(jiǎn)便，移動(dòng)靈活等優(yōu)點(diǎn)而廣泛運(yùn)用，這里主要介紹以貝雷桁片作為勁性主梁的平行貝雷桁架式掛籃在連續(xù)箱梁懸臂施工中的應(yīng)用，供類(lèi)似橋型施工參考.

一.工程概況：

嘉興市洪興西路跨北郊河大橋主橋?yàn)槿鏣型剛構(gòu)，橋跨布置為40+60+40米，單幅橋面總寬12.75米，T型剛構(gòu)設(shè)計(jì)為直腹板單箱雙室變截面梁，箱梁底寬10.75米，兩邊翼板各寬1米，主墩為9#，10#，四主墩均在北郊河中。因此要求9#，10#墩采用掛籃懸澆施工。

主橋連續(xù)箱梁節(jié)段為：0#塊3米，1#塊2.6米，2#塊2.6米，3#塊3.1米4#塊3.1米，5#塊3.1米，6#塊3.0米，7#塊1.56米。共有6塊箱梁需要進(jìn)行掛籃施工。

塊件最大重量為70.7噸（3#塊），最小重量為45.87噸（7#塊）。

設(shè)計(jì)掛籃荷載要求：掛籃承重為150噸，掛籃自重控制40噸。

二、掛籃模型確定：

由于本工程箱梁節(jié)段少，重量較輕，橋面寬度較窄（寬度為12.75米），經(jīng)幾方面比較，結(jié)合本工程特點(diǎn)，決定采用平行桁架式掛籃。由組合貝雷片作為勁性主梁，每?jī)善瑸橐唤M，共三組。

前上、下橫梁為：1根雙拼32#工字鋼、1根雙拼工字45#鋼。

后上、下橫梁為：1根雙拼36#工字鋼、1根雙拼36#工字鋼。

底模采用固定平臺(tái)，底板采用6毫米鐵板，22#工字梁為平臺(tái)分配縱梁。

掛籃前后各置180×20鋼板吊帶。提升裝置為30噸螺旋千斤頂。

三、底模平臺(tái)

底模平臺(tái)采用22#工字鋼作為分配縱梁，間距40厘米，腹板位置采用滿(mǎn)布，用8槽鋼作橫向連結(jié)型鋼梁，面層鋪設(shè)6mm鋼板作為底模。作用于平臺(tái)上的荷載參考有關(guān)資料，荷載系數(shù)取值如下：

四、上、下橫梁驗(yàn)算

五、提升系統(tǒng)扁擔(dān)分配梁驗(yàn)算

本掛籃提升由吊帶、雙拼22#槽鋼扁擔(dān)分配梁、30噸手動(dòng)螺旋千斤頂組成。由前后下橫梁的受力圖可知，前中吊帶的受力最大，其承受的拉力為N中=R15=32.37（T）。理論上可把扁擔(dān)分配梁和30噸手動(dòng)螺旋千斤頂組成的結(jié)構(gòu)當(dāng)成外伸簡(jiǎn)支梁來(lái)分析。

剛度滿(mǎn)足要求。

六、承重桁架驗(yàn)算

承重桁架采用貝雷梁，每道腹板處設(shè)一組，每組由兩片貝雷片組成，全橋布置三組。

1. 作用在主桁架的荷載：

由前上下橫梁內(nèi)力圖的支座反力可知主桁架懸臂端的集中荷載：

G前=32.37+16.78+16.97+3.5×4=80.12噸

同理由后上下橫梁內(nèi)力圖的支座反力可知掛籃后橫梁處主桁架的集中荷載G后=9.42+6.62+3.5×4=30.04噸。

由于在進(jìn)行前后橫梁的受力計(jì)算時(shí)都施加了1.2的安全系數(shù)，G前、G后都帶有1.2的安全系數(shù)。并且包括掛籃自重。

主桁架后錨采用Φ32精軋螺紋鋼作拉錨，雙拼22#槽鋼為扁擔(dān)梁，每組貝雷梁設(shè)置三道Φ32精軋螺紋鋼，從后端40厘米處開(kāi)始間距50厘米設(shè)置，

故貝雷主桁架的受力基本圖如下：

剛度滿(mǎn)足要求。綜上所述拉錨受力安全。

篇2

[關(guān)鍵詞] 三維斑點(diǎn)追蹤成像；左心室功能；2型糖尿?。谎强刂撇涣?；糖化血紅蛋白；超聲

[中圖分類(lèi)號(hào)] R445.1 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1672-4062（2017）01（a）-0034-02

糖尿病是一種胰島素分泌缺陷或胰島素作用缺陷引起的代謝性疾病，而長(zhǎng)期的血糖高水平損傷血管及神經(jīng)，可通過(guò)多種途徑導(dǎo)致全身多器官功能障礙，糖尿病也是心腦血管疾病的危險(xiǎn)因素之一[1]，糖尿病患者心血管疾病死亡率是非糖尿病患者的2～4倍。而糖尿病血糖控制不良則是患者病情進(jìn)展的重要影響因素。而早期糖尿病心功能變化不明顯，常規(guī)檢測(cè)手段較難洞察。該研究采用實(shí)時(shí)三維斑點(diǎn)追蹤成像比較糖尿病患者血糖控制不良者、血糖控制良好者及健康體檢者左心室功能，旨在探討糖尿病患者心功能特點(diǎn)，現(xiàn)報(bào)道如下。

1 資料與方法

1.1 一般資料

選擇2015年5月―2016年3月大慶市人民醫(yī)院及大慶油田總醫(yī)院就診的2型糖尿病患者78例。按照糖化血紅蛋白大小分為2組。其中糖化血紅蛋白0.05），具有可比性。

1.2 方法

采用Philips IE33型彩色多普勒超聲心動(dòng)圖，實(shí)時(shí)三維全容積探頭，頻率1～5 MHz，幀頻>60幀/s，受試者取左側(cè)臥位，連接心電圖。先常規(guī)方法進(jìn)行二維成像。然后調(diào)整為4D模式，先囑患者屏氣，采集連續(xù)穩(wěn)定周期≥6個(gè)的動(dòng)態(tài)圖像。自動(dòng)顯示水平定位線，顯示心尖四腔心觀、二腔心觀及三腔心觀。分別在舒張末期、收縮末期時(shí)，在心尖處心內(nèi)膜和二尖瓣瓣環(huán)重點(diǎn)各描記1個(gè)點(diǎn)，舒張末期與收縮末期心內(nèi)膜的追蹤輪廓線軟件自動(dòng)描述，計(jì)算左心室舒張末期和左心室收縮末期容積，左心室射血分?jǐn)?shù)用Volume waveform軟件自動(dòng)得出容積曲線計(jì)算，左心室舒張末期心肌質(zhì)量選用LV Mass 軟件計(jì)算并描記心外膜，左心室收縮末期心肌質(zhì)量采用RT3D Strain ROI軟件計(jì)算，并自動(dòng)得出左心室各應(yīng)變量的牛眼圖及應(yīng)變曲線，并記錄整體縱向收縮期峰值應(yīng)變、左心室整體圓周收縮期峰值應(yīng)變、左心室整體向收縮期峰值應(yīng)變、左心室整體面積收縮期峰值應(yīng)變的絕對(duì)值。

1.3 統(tǒng)計(jì)方法

所有數(shù)據(jù)均采用SPSS 20.0統(tǒng)計(jì)學(xué)軟件錄入、整理、分析，計(jì)量數(shù)據(jù)采用均數(shù)±標(biāo)準(zhǔn)差（x±s）表示，A組、B組和對(duì)照組差異分析采用方差分析，兩兩比較采用LSD-t檢驗(yàn)。P

2 結(jié)果

A組左心室舒張末期容積（71.6±6.3）mL、左心室收縮末期容積（47.2±5.5）mL、左心室射血分?jǐn)?shù)（63.4±6.2）%，左心室質(zhì)量（119.7±10.5）g、整體縱向收縮期峰值應(yīng)變（18.0±3.1）%、左心室整體圓周收縮期峰值應(yīng)變（16.9±2.1）%、左心室整體向收縮期峰值應(yīng)變（36.1±2.1）%、左心室整體面積收縮期峰值應(yīng)變（25.2±2.6）%。B組左心室舒張末期容積（71.2±5.8）mL、左心室收縮末期容積（46.8±5.9）mL、左心室射血分?jǐn)?shù)（62.8±6.8）%，左心室質(zhì)量（131.6±12.2）g、整體縱向收縮期峰值應(yīng)變（14.7±2.2）%、左心室整體圓周收縮期峰值應(yīng)變（16.5±1.6）%、左心室整體向收縮期峰值應(yīng)變（35.8±1.7）%、左心室整體面積收縮期峰值應(yīng)變（20.3±2.0）%。對(duì)照組左心室舒張末期容積（72.4±6.6）mL、左心室收縮末期容積（47.7±5.1）mL、左心室射血分?jǐn)?shù)（64.0±6.5）%，左心室質(zhì)量（116.8±9.4）g、整體縱向收縮期峰值應(yīng)變（18.6±3.3）%、左心室整體圓周收縮期峰值應(yīng)變（17.4±2.5）%、左心室整體向收縮期峰值應(yīng)變（36.4±2.6）%、左心室整體面積收縮期峰值應(yīng)變（25.7±2.8）%。

3組左心室舒張末期容積、左心室收縮末期容積、左心室射血分?jǐn)?shù)、左心室整體圓周收縮期峰值應(yīng)變及左心室整體向收縮期峰值應(yīng)變經(jīng)方差分析，差異無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P>0.05）。與A組和對(duì)照組相比，B組左心室質(zhì)量大、整體縱向收縮期峰值應(yīng)變及整體面積收縮期峰值應(yīng)變率低，差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P0.05）。

3 討論

心室肌呈縱行帶狀排列，自肺動(dòng)脈于后方呈螺旋形繞過(guò)主動(dòng)脈終至于心間，形成尖端環(huán)和基底環(huán)兩個(gè)螺旋，尖端環(huán)心肌纖維先螺旋下降，到達(dá)心尖部后扭轉(zhuǎn)向上，基地環(huán)則包繞左、右心室心底部。左心室壁心肌纖維為多重交織層疊，心內(nèi)膜下心肌纖維為右手螺旋狀環(huán)繞心室腔、而心外膜下心肌纖維為左手螺旋[2]。

心室的心肌纖維走向決定了其收縮、舒張的特性。這為超聲心動(dòng)圖用于心室功能評(píng)價(jià)提供基礎(chǔ)。而近年來(lái)在評(píng)價(jià)左心室功能的超聲心動(dòng)圖技術(shù)包括三維超聲心動(dòng)圖、二維超聲斑點(diǎn)追蹤成像及實(shí)時(shí)三維斑點(diǎn)追蹤成像[3]。三維超聲心動(dòng)圖通過(guò)X、Y軸及Z軸的組合，形成金字塔形三維數(shù)據(jù)顯示三維立體成像，但是該技術(shù)分辨率較低，細(xì)微結(jié)構(gòu)分辨能力不足，心間部心內(nèi)膜顯示模糊。二維超聲斑點(diǎn)追蹤法則是通過(guò)逐幀追蹤二維灰階超聲圖像中形成的斑點(diǎn)信息，并通過(guò)最佳模式匹配技術(shù)，標(biāo)記心肌運(yùn)動(dòng)軌跡，從而形成了多個(gè)方位的心肌運(yùn)動(dòng)參數(shù)。蘭斌等[4]人采用二維超聲斑點(diǎn)追中成像用于原發(fā)性高血壓患者左室評(píng)價(jià)，發(fā)現(xiàn)無(wú)左心室心肌肥厚患者左房前后徑、室間隔舒張末期厚度及左室后壁舒張末期厚度、左室心肌質(zhì)量及左室心肌質(zhì)量指數(shù)較正常對(duì)照組具有顯著升高，這提示了二維超聲斑點(diǎn)追蹤成像在高血壓患者左心室肥厚有較好的早期病變?cè)\斷價(jià)值。其優(yōu)點(diǎn)為無(wú)角度依賴(lài)性，幀頻高，缺點(diǎn)為對(duì)幀頻要求較高，時(shí)間與空間分辨力仍不夠理想，斑點(diǎn)追蹤時(shí)斑點(diǎn)粒子可能會(huì)移動(dòng)到掃描平面以外造成斑點(diǎn)缺失。

實(shí)時(shí)三維斑點(diǎn)追蹤成像可全面真實(shí)地反應(yīng)心肌在三維空間里的運(yùn)動(dòng)[5]。在冠心病患者左心容積及功能方面實(shí)時(shí)三維斑點(diǎn)追蹤成像的評(píng)價(jià)效果與640層CT定量技術(shù)相[6]。整體縱向收縮期峰值應(yīng)變?cè)谛难芗膊∽笮氖以u(píng)價(jià)中最敏感，主要由心內(nèi)膜層的縱向心肌收縮產(chǎn)生[7]，整體面積收縮期峰值應(yīng)變與左心室收縮功能相關(guān)性良好[8]。該研究結(jié)果顯示與A組和對(duì)照組相比，B組左心室質(zhì)量大、整體縱向收縮期峰值應(yīng)變及整體面積收縮期峰值應(yīng)變率低，差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P0.05）。提示這3個(gè)指標(biāo)或可成為2型糖尿病患者左心室功能檢測(cè)的敏感指標(biāo)。

[參考文獻(xiàn)]

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[2] 楊晨光，汪芳，孫由靜，等.三維斑點(diǎn)追蹤技術(shù)評(píng)價(jià)冠脈狹窄患者左心室局部縱向收縮功能的研究[J].中國(guó)臨床醫(yī)學(xué)影像雜志，2014，25（5）：325-328.

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篇3

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)、教材改革、建議

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》的推出使我國(guó)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)有了很大提高，但是，我們也應(yīng)清楚地認(rèn)識(shí)到，任何事物都有一個(gè)不斷發(fā)展和完善的過(guò)程，現(xiàn)行教材的結(jié)構(gòu)也不是盡善盡美的，教材的使用上還會(huì)出現(xiàn)一些現(xiàn)行的問(wèn)題，它需要我們教學(xué)時(shí)認(rèn)真思考這些問(wèn)題，保留傳統(tǒng)優(yōu)秀的東西，摒棄一些繁、難、偏、舊的東西，教學(xué)中時(shí)刻進(jìn)行反思，及時(shí)總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，與同行、與學(xué)生廣泛展開(kāi)討論，尋求解決問(wèn)題的方案，使自己的教學(xué)穩(wěn)中有變，變中求現(xiàn)行，為我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行能力培養(yǎng)創(chuàng)造良好的條件。

“研究幾何的根本出路是代數(shù)化，引入向量是代數(shù)化的需要?！被诖耍私贪娓咧小稊?shù)學(xué)》第一冊(cè)(下B)，利用向量方法來(lái)研究立體幾何問(wèn)題，這給傳統(tǒng)的高中立體幾何的教學(xué)注入了一股現(xiàn)行鮮的氣息，使學(xué)生初步體會(huì)到作為解決幾何問(wèn)題的通法一一向量方法的威力。但筆者在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)了教材中也存在一些美中不足的地方，現(xiàn)對(duì)其提出幾點(diǎn)意見(jiàn)。

一、教材應(yīng)當(dāng)適度提高對(duì)綜合推理的訓(xùn)練

二面角作為空間中最重要的角之一，我們認(rèn)為不管是哪一種教材體系，都應(yīng)當(dāng)把它列為重要的研究對(duì)象。而教材對(duì)二面角的處理僅僅設(shè)置了1課時(shí)，給師生以一帶而過(guò)的感覺(jué)。特別是對(duì)二面角平面角的作法，絕大多數(shù)學(xué)生在一節(jié)課的時(shí)間內(nèi)難以掌握，所以當(dāng)學(xué)生都無(wú)法找到計(jì)算對(duì)象時(shí)，就更談不上去求解它了。另外，該部分內(nèi)容又不容易自然地納入向量方法體系之中。因此，建議增加關(guān)于二面角的例題。一方面，把二面角的求解與向量方法結(jié)合起來(lái)；另一方面，借此適當(dāng)?shù)靥岣呔C合推理的訓(xùn)練。因?yàn)榭臻g中的角度(也包括距離)是立體幾何中重要的度量問(wèn)題，這些問(wèn)題的解決又一定程度依賴(lài)于綜合推理。正如課程標(biāo)準(zhǔn)中要求所說(shuō)：“把幾何推理與代數(shù)運(yùn)算推理有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，為學(xué)生的思維活動(dòng)開(kāi)發(fā)了更加廣闊的空間，在教學(xué)中要緊緊把握這個(gè)大方向，不能有所偏廢。”

二、用向量方法研究平行關(guān)系的問(wèn)題相對(duì)較少

教材中利用向量方法研究垂直關(guān)系的例題、練習(xí)及習(xí)題比比皆是，但利用向量方法研究平行關(guān)系的例題卻為數(shù)不多。且不能很好地體現(xiàn)向量方法的優(yōu)越性。

例如教材第30頁(yè)例3，課堂教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生首先想到的不是用向量方法，反而更容易想到的是用相似三角形這一較為熟知的知識(shí)點(diǎn)去推證四邊形EFGH與，平行四邊形ABCD的各邊對(duì)應(yīng)平行，并且簡(jiǎn)潔易行。類(lèi)似這樣的題目還有第41頁(yè)例5(該題用反證法也很容易證明)，第79頁(yè)參考例題2(該題用三角形中位線及等腰三角形底邊上的中線也是高線的知識(shí)也很容易解決)，限于篇幅，不再一一贅述?？傊?，這些題口給我們的感覺(jué)只是為了介紹向量方法，但卻不能顯示出向量方法的優(yōu)越性。另外，在練習(xí)和習(xí)題中再很難找到用向量方法來(lái)研究平行關(guān)系的題目了。筆者建議，教材要讓所選例題更具有典型性和代表性，并且在練習(xí)和習(xí)題中編擬一些利用向量方法研究，平行關(guān)系(包括線線，平行、線面平行、面面平行）的題目，來(lái)充分顯示用向量方法解決立體幾何問(wèn)題的優(yōu)越性。

三、教材的知識(shí)體系需要進(jìn)一步條理和完整

篇4

從近五年新課程高考對(duì)平面向量的考查情況來(lái)看，這部分內(nèi)容大多考查平面向量的加減、數(shù)乘、數(shù)量積等坐標(biāo)線性運(yùn)算及其幾何意義，有時(shí)會(huì)與平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)點(diǎn)相交匯，體現(xiàn)平面向量“數(shù)與形”的雙重身份，題型主要是選擇題和填空題，與三角函數(shù)和解析幾何交匯往往在大題中，分值一般在5～10分，難度不大，屬于中低檔難度的題型.

二 考點(diǎn)掃描

1. 平面向量的有關(guān)概念

（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度（或模）.

（2）零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，其方向是任意的.

（3）單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.

（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共線向量，任一組平行向量都可以移到同一條直線上.規(guī)定：與任一向量平行.

（5）相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.

（6）相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.

例1. 給出下列命題：①若

=

，則=；②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則=是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；③若，滿(mǎn)足

>

且與同向，則>；④若∥，∥，則∥.

其中正確命題的序號(hào)是 （請(qǐng)把正確命題的序號(hào)都填上）.

解析：對(duì)①，若

=

，則與不一定共線，故不能得出

=

；對(duì)②，根據(jù)向量相等的條件顯然成立；對(duì)③，因?yàn)橄蛄砍擞写笮∵€有方向，故向量是不能比較大小的，所以不對(duì)；因?yàn)榈姆较蚴侨我獾?，?duì)任意向量，都有∥，所以在④中，令=則知該命題不對(duì).

綜上所述，只有②是正確的.

解題寶典：正確理解向量的概念與向量的模，零向量、單位向量、相等與相反向量、平行向量（也叫共線向量）等概念及其含義是解題的關(guān)鍵.相等向量是指大小相等，方向相同的向量；相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性；共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān)；向量不能比較大小，但向量的模能比較大小.

現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用1. 給出下列命題：

①λ，μ為實(shí)數(shù)，若λ=μ，則與共線；②若=，則ABCD為平行四邊形；③若=，=，則=；④λ=0（λ為實(shí)數(shù)），則λ必為零.

其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

2. 平面向量的線性運(yùn)算

1. 向量的加法和減法.

（1）加法

①法則：服從三角形法則、平行四邊形法則.

②運(yùn)算性質(zhì)：+=+（交換律）；（+）+=+（+）（結(jié)合律）；+=+=.

（2）減法

①減法與加法互為逆運(yùn)算；

②法則：服從三角形法則.

2. 實(shí)數(shù)與向量的積.

（1）長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：

①|(zhì)λ|=|λ|||；

②當(dāng)λ>0時(shí)，λ與的方向相同；當(dāng)λ

（2）運(yùn)算律：設(shè)λ、 μ∈R，則：

①λ（μ）=（λμ）；②（λ+μ）=λ+μ；③λ（+）=λ+λ.

例2. （2012年?yáng)|北三校模擬）如圖所示，若四邊形ABCD是一個(gè)等腰梯形，AB∥DC，M、N分別是DC、AB的中點(diǎn)，已知=，=，=，試用、、表示= ，+= .

解析：=++， =-=-，

=-=-，==， =--，

+=+++=2=-2-.

解題寶典：（1）解題的關(guān)鍵在于搞清構(gòu)成三角形的三條邊間的相互關(guān)系，能熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運(yùn)用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化.

（2）用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問(wèn)題的基本技巧是：①觀察各向量的位置；②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；③運(yùn)用法則找關(guān)系；④化簡(jiǎn)結(jié)果.

現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用2. 在ABC中，=，DE∥BC交AC于點(diǎn)E，BC邊上的中線AM交DE于點(diǎn)N.設(shè)=，=，用，表示向量、、、、、.

3. 共線向量問(wèn)題.

兩個(gè)向量共線定理：向量與（≠0）共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得=λ.

例3. 設(shè)兩個(gè)非零向量與不共線.

（1）若=+，=2+8，=3（-）.

求證：A、B、D三點(diǎn)共線；

（2）試確定實(shí)數(shù)k，使k+和+k共線.

解析：（1）證明：=+，=2+8，=3（-），

=+=2+8+3（-）=2+8+3-3=5（+）=5 .

、共線，又它們有公共點(diǎn)B，A、B、D三點(diǎn)共線.

2） k+與+k共線，存在實(shí)數(shù)λ，使k+=λ（+k），

即k+=λ+λk，（k-λ）=（λk-1）.

與是不共線的兩個(gè)非零向量， k-λ=λk-1=0， k2-1=0，k=±1.

解題寶典：（1）向量共線的充要條件中要注意當(dāng)兩向量共線時(shí)，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要注意待定系數(shù)法的運(yùn)用和方程思想.

（2）證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線來(lái)解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線.

現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用3. 已知，是不共線的向量，若=λ1+，=+λ2（λ1，λ2∈R），則A、B、C三點(diǎn)共線的充要條件為（ ）

A. λ1=λ2=-1 B. λ1=λ2=1

C. λ1λ2-1=0 D. λ1λ2+1=1

4. 向量的坐標(biāo)運(yùn)算.

（1）設(shè)=（x1，y1），=（x2，y2），則+=（x1+x2，y1+y2），-=（x1-x2，y1-y2），λ=（λx1，λy1）.

（2）已知 A（x1，y1），B（x2，y2），則=（x2-x1，y2-y1），即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向量終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).

例4. 已知A（1，-2），B（2，1），C（3，2），D（-2，3），則以，為一組基底來(lái)表示++= .

解析： =（1，3），=（2，4），=（-3，5），=（-4，2），=（-5，1）， ++=（-3，5）+（-4，2）+（-5，1）=（-12，8）.

根據(jù)平面向量基本定理，必存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)，使得++=+， （-12，8）=（1，3）+（2，4）， -2=

+2

，

8=3

+4

， 得=32，=-22.

++=32-22.

解題寶典：利用平面向量基本定理而引入?yún)?shù)是解決向量問(wèn)題的常用技巧，而方程（組）是求解工具，體現(xiàn)了向量坐標(biāo)運(yùn)算的優(yōu)越性.特別需要注意：向量的一個(gè)方程相當(dāng)于實(shí)數(shù)的兩個(gè)方程，橫坐標(biāo)一個(gè)，縱坐標(biāo)一個(gè).

現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用4. 在ABC中，點(diǎn)P在BC上，且=2，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若=（4，3），=（1，5），則等于（ ）

A.（-2，7） B.（-6，21）

C.（2，-7） D.（6，-21）

5. 向量坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用.

平面向量共線的坐標(biāo)表示：設(shè)=（x1，y1），=（x2，y2），其中≠，則與共線?=λ?x1y2-x2y1=0.

例5. 平面內(nèi)給定三個(gè)向量=（3，2），=（-1，2），=（4，1） .

（1）若（+k）∥（2-），求實(shí)數(shù)k；

（2）設(shè)[]=（x，y）滿(mǎn)足（[]-）∥（+）且|[]-|=1，求[].

解析：（1）（+k）∥（2-），又+k=（3+4k，2+k），2-=（-5，2），

2×（3+4k）-（-5）×（2+k）=0， k=-.

（2） []-=（x-4，y-1），+=（2，4），又（[]-）∥（+）且|[]-|=1，

4（x-4）-2（y-1）=0，

（x-4）2+（y-1）2=1，解得x=4+

，

y=1+

或x=4-

，

y=1-

.

[]=（，）或[]=（，）.

解題寶典：向量平行的坐標(biāo)公式實(shí)質(zhì)是把向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的運(yùn)算問(wèn)題.通過(guò)坐標(biāo)公式建立參數(shù)的方程，通過(guò)解方程或方程組求得參數(shù)，充分體現(xiàn)了方程思想在向量中的應(yīng)用.

現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用5.已知點(diǎn)O（0，0），A（1，2），B（4，5），且=+t.

（1）求點(diǎn)P在第二象限時(shí)，實(shí)數(shù)t的取值范圍；

（2）四邊形OABP能否為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的實(shí)數(shù)t；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

6. 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.

（1）平面向量數(shù)量積的意義.

①，是兩個(gè)非零向量，它們的夾角為θ，則數(shù)||·

||·cosθ叫做與的數(shù)量積，記作·，即·=||·||·cosθ.規(guī)定0·=0；當(dāng)時(shí)，θ=90°，這時(shí)·=0.

②·的幾何意義.

·等于的長(zhǎng)度||與在的方向上的投影||cosθ的乘積.

（2）向量數(shù)量積的性質(zhì).

①如果[]是單位向量，則·[]=[]·=||cos.

②?·=0且·=0?.

③·=||2，||=.

④cos=.

⑤|·|≤||||.

（3）數(shù)量積的運(yùn)算律.

①交換律·=·.

②分配律（+）·=·+·.

③對(duì)λ∈R，λ（·）=（λ）·=·（λ）.

（4）數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.

設(shè)=（a1，a2），=（b1，b2），則① ·=11+22；② ?a1b1+a2.b2=0.③||=；④cos=.

例6. 若 [e] [1]、[e] [2]是夾角為的單位向量，且=2[e] [1]+[e] [2]，=-3[e] [1]+2[e] [2]，則 ·等于（ ）

A. 1 B. -4 C. - D.

解析：依題意，·=||·||·cos=，·=（2+）·（-3+2）=-6||32+2||32+·=-6+2+=-，選C.

解題寶典：熟練掌握向量數(shù)量積的定義與數(shù)量積的運(yùn)算率是解決本題的關(guān)鍵.

現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用6. O是平面上一點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足=+λ（+），當(dāng)λ=時(shí)，·（+）的值為_(kāi)_______.

7 . 平面向量數(shù)量積的運(yùn)用.

（1）求向量的模與夾角.

例7. 已知||=4，||=3，（2-3）·（2+）=61.

（1）求與的夾角θ；

（2）求|+|和|-|；

解析：（1）由（2-3）·（2+）=4||2-4·-3||2=61及||=4，||=3，得·=-6，

cosθ===-，又θ∈[0°，180°]， θ=120°.

（2） |+|====.

同理，|-|==.

解題寶典：解這類(lèi)題關(guān)鍵是理順?biāo)悸?，用?duì)公式，避免出現(xiàn)一些不必要的錯(cuò)誤.例如，計(jì)算|+|時(shí)，利用（+）2=2+2·+[][2]得到的·是數(shù)量積||||cosθ，而不是||||.在ABC中求角時(shí)，還應(yīng)注意向量與的夾角并非三角形內(nèi)角∠ABC.

現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用7. 設(shè)和是兩個(gè)單位向量，其夾角是60°，求向量=2+與b=2-3的夾角.

（2）兩平面向量的垂直與平行.

例8. 設(shè)x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2.-4）且，∥，則 x= ，y= .

解析：由得2x-4=0?x=2，由∥得-4=2y?y=2.

解題寶典：以數(shù)量積為載體考查兩向量垂直和平行是高考中經(jīng)常出現(xiàn)的題型，完成手段是熟練運(yùn)用向量垂直與平行的坐標(biāo)運(yùn)算公式.

現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用8. 已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），O為原點(diǎn).

（1）若∥，求tanα的值；

（2）若，求sin2α的值；

8. 向量與三角函數(shù)的交匯.

例9. 在ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，設(shè)向量=（sinA，cosB），=（cosA，sinB）.

（1）若∥，求角C；

（2）若，B=15°，a=+，求邊c的大小.

解析：（1）由∥?sinAsinB-cosAcosB=0?cos（A+B）=0.

因?yàn)?

（2）由?sinAcosA+sinBcosB=0?sin2A+sin2B=0.

已知B=15°，所以sin2A+sin30°=0，sin2A=-，

因?yàn)?

根據(jù)正弦定理=?=?c=，

因?yàn)閟in105°=sin（45°+60°）=，所以c==2.

解題寶典：與三角函數(shù)相結(jié)合考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及其應(yīng)用是高考熱點(diǎn)題型.解答此類(lèi)問(wèn)題，除了要熟練掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式、向量模、夾角的坐標(biāo)運(yùn)算公式外，還應(yīng)掌握三角恒等變換的相關(guān)知識(shí).

現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用9.設(shè)函數(shù)f（x）=·，其中向量=（2cosx，1），=（cosx，sin2x），x∈R.

（Ⅰ）若f（x）=1-且x∈[-，]，求x；

（Ⅱ）若函數(shù)y=2sin2x的圖像按向量=（m，n）（|m|

現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用答案：

1. A. 2. =；=-；=（-）；=（-），=（+）；=（ +）.3. C. 4. B. 5. （1）-

篇5

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 教材改革 建議

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》的推出使我國(guó)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)有了很大提高，但是，我們也應(yīng)清楚地認(rèn)識(shí)到，任何事物都有一個(gè)不斷發(fā)展和完善的過(guò)程，現(xiàn)行教材的結(jié)構(gòu)也不是盡善盡美的，教材的使用上還會(huì)出現(xiàn)一些現(xiàn)行的問(wèn)題，它需要我們教學(xué)時(shí)認(rèn)真思考這些問(wèn)題，保留傳統(tǒng)優(yōu)秀的東西，摒棄一些繁、難、偏、舊的東西，教學(xué)中時(shí)刻進(jìn)行反思，及時(shí)總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，與同行、與學(xué)生廣泛展開(kāi)討論，尋求解決問(wèn)題的方案，使自己的教學(xué)穩(wěn)中有變，變中求現(xiàn)行，為我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行能力培養(yǎng)創(chuàng)造良好的條件。

“研究幾何的根本出路是代數(shù)化，引入向量是代數(shù)化的需要?！被诖?，人教版高中《數(shù)學(xué)》第一冊(cè)(下B)，利用向量方法來(lái)研究立體幾何問(wèn)題，這給傳統(tǒng)的高中立體幾何的教學(xué)注入了一股現(xiàn)行鮮的氣息，使學(xué)生初步體會(huì)到作為解決幾何問(wèn)題的通法一一向量方法的威力。但筆者在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)了教材中也存在一些美中不足的地方，現(xiàn)對(duì)其提出幾點(diǎn)意見(jiàn)。

一、教材應(yīng)當(dāng)適度提高對(duì)綜合推理的訓(xùn)練

二面角作為空間中最重要的角之一，我們認(rèn)為不管是哪一種教材體系，都應(yīng)當(dāng)把它列為重要的研究對(duì)象。而教材對(duì)二面角的處理僅僅設(shè)置了1課時(shí)，給師生以一帶而過(guò)的感覺(jué)。特別是對(duì)二面角平面角的作法，絕大多數(shù)學(xué)生在一節(jié)課的時(shí)間內(nèi)難以掌握，所以當(dāng)學(xué)生都無(wú)法找到計(jì)算對(duì)象時(shí)，就更談不上去求解它了。另外，該部分內(nèi)容又不容易自然地納入向量方法體系之中。因此，建議增加關(guān)于二面角的例題。一方面，把二面角的求解與向量方法結(jié)合起來(lái)；另一方面，借此適當(dāng)?shù)靥岣呔C合推理的訓(xùn)練。因?yàn)榭臻g中的角度(也包括距離)是立體幾何中重要的度量問(wèn)題，這些問(wèn)題的解決又一定程度依賴(lài)于綜合推理。正如課程標(biāo)準(zhǔn)中要求所說(shuō)：“把幾何推理與代數(shù)運(yùn)算推理有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，為學(xué)生的思維活動(dòng)開(kāi)發(fā)了更加廣闊的空間，在教學(xué)中要緊緊把握這個(gè)大方向，不能有所偏廢?！?/p>

二、用向量方法研究平行關(guān)系的問(wèn)題相對(duì)較少

教材中利用向量方法研究垂直關(guān)系的例題、練習(xí)及習(xí)題比比皆是，但利用向量方法研究平行關(guān)系的例題卻為數(shù)不多。且不能很好地體現(xiàn)向量方法的優(yōu)越性。

例如教材第30頁(yè)例3，課堂教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生首先想到的不是用向量方法，反而更容易想到的是用相似三角形這一較為熟知的知識(shí)點(diǎn)去推證四邊形EFGH與，平行四邊形ABCD的各邊對(duì)應(yīng)平行，并且簡(jiǎn)潔易行。類(lèi)似這樣的題目還有第41頁(yè)例5(該題用反證法也很容易證明)，第79頁(yè)參考例題2(該題用三角形中位線及等腰三角形底邊上的中線也是高線的知識(shí)也很容易解決)，限于篇幅，不再一一贅述。總之，這些題口給我們的感覺(jué)只是為了介紹向量方法，但卻不能顯示出向量方法的優(yōu)越性。另外，在練習(xí)和習(xí)題中再很難找到用向量方法來(lái)研究平行關(guān)系的題目了。筆者建議，教材要讓所選例題更具有典型性和代表性，并且在練習(xí)和習(xí)題中編擬一些利用向量方法研究，平行關(guān)系(包括線線，平行、線面平行、面面平行）的題目，來(lái)充分顯示用向量方法解決立體幾何問(wèn)題的優(yōu)越性。

三、教材的知識(shí)體系需要進(jìn)一步條理和完整

教材中，球的體積及表面積公式的推導(dǎo)分別用到了教材中未出現(xiàn)的圓柱和棱錐的體積公式，而這些公式無(wú)論是對(duì)幫助學(xué)生理解球的體積及表面積公式的推導(dǎo)過(guò)程，還是對(duì)在實(shí)際應(yīng)用中的價(jià)值方面，都是應(yīng)當(dāng)在本章中有所體現(xiàn)的，即使它們是被作為了解的內(nèi)容。另外，用祖嘔原理(這一原理的發(fā)現(xiàn)比西方早了1100多年)推導(dǎo)球的體積公式反映了我國(guó)古代數(shù)學(xué)的偉大成就，建議可作為閱讀材料介紹給學(xué)生，以此，對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義教育，激勵(lì)學(xué)生的民族自豪感和為國(guó)富民強(qiáng)而勤奮學(xué)習(xí)的熱情?？傊?，教材的改革是要對(duì)傳統(tǒng)教材中的“繁難偏舊”進(jìn)行改革，而如果把傳統(tǒng)教材中精華的部分也舍掉的話，那肯定不是課程改革的初衷。

在中學(xué)階段，向量方法被應(yīng)用于立體幾何的教學(xué)中尚屬首次。以上雖不是什么大的問(wèn)題，但作為中學(xué)教材，它是要在全國(guó)進(jìn)行推廣和使用的。因此，無(wú)論是從它的權(quán)威性而言，還是從它的科學(xué)性而言，這些“小問(wèn)題”都希一望引起編者的重視。相信，只要通過(guò)教師本著邊學(xué)、邊教、邊改進(jìn)、邊完善的精神，中學(xué)數(shù)學(xué)教材的改革必將日趨完善，日趨成熟。

參考文獻(xiàn)

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[3]鄭毓信.數(shù)學(xué)教育：從理論到實(shí)踐［M］.上海教育出版社，2004.

[4]戴再平.開(kāi)放題——數(shù)學(xué)教學(xué)的新模式［M］.上海教育出版社，2004.

篇6

江蘇高考中立體幾何題屬于容易題，比三角題更容易得高分，要求能運(yùn)用4條公理、3條推論和9條定理證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題。

具體要求：

1. 理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系；會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言規(guī)范地表述空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系。了解以下可以作為推理依據(jù)的4條公理、3條推論和1條定理：

公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi)。

公理2：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線。

公理3：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面。

推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面。

推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面。

推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面。

公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行。

定理：空間中如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行,并且方向相同,那么這兩個(gè)角相等。

2. 了解空間線面平行、垂直的有關(guān)概念；能正確地判斷空間線線、線面與面面的位置關(guān)系；理解如下的4條關(guān)于空間中線面平行、垂直的判定定理,并能用圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言表述這些判定定理(這4條定理的證明不作要求)。

平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行。

一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平行。

一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,則該直線與此平面垂直。

一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直。

3. 理解如下的4條關(guān)于空間中線面平行、垂直的性質(zhì)定理,能用圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言表述這些性質(zhì)定理,并能加以證明。

一條直線與一個(gè)平面平行,則過(guò)該直線的任一個(gè)平面與此平面的交線與該直線平行。

兩個(gè)平面平行,則任意一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交所得的交線相互平行。

垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。

兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。

4. 了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式(不要求記憶公式,試卷中會(huì)提示),會(huì)求直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)、圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球的表面積和體積。

復(fù)習(xí)中應(yīng)注意結(jié)合常見(jiàn)的空間幾何體(長(zhǎng)方體、三棱錐、四棱臺(tái)、圓柱、球等)的實(shí)際模型,學(xué)會(huì)將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言,能做到準(zhǔn)確地使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述幾何對(duì)象的位置關(guān)系。

二、 關(guān)注熱點(diǎn)題型,做到臨陣不亂

近四年江蘇高考立體幾何大題回顧。

(2008•江蘇T16)在四面體ABCD中,CB=CD,ADBD,且E,F分別是AB,BD的中點(diǎn)．

求證：(1) 直線EF∥平面ACD;

(2) 平面EFC平面BCD．

(2009•江蘇T16)如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,E,F分別是A1B,A1C的中點(diǎn),點(diǎn)D在B1C1上,A1DB1C.

求證：(1) EF∥平面ABC;

(2) 平面A1FD平面BB1C1C．

(2010•江蘇T16)如圖,四棱錐PABCD中,PD平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°.

(1) 求證：PCBC；

(2) 求點(diǎn)A到平面PBC的距離.

(2011•江蘇T16)如圖,在四棱錐PABCD中,平面PAD平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E,F分別是AP,AD的中點(diǎn)．

求證：(1) 直線EF∥平面PCD；

(2) 平面BEF平面PAD．

通過(guò)分析比較上面四題,我們不難發(fā)現(xiàn)江蘇高考命題符合《課程標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)習(xí)要求》,突出了線面位置關(guān)系的考查,且多次以證明線面平行和面面垂直的形式呈現(xiàn)?？紤]到此乃文、理科同學(xué)的必做題,為了兼顧公平性,試題中多面體的底面具有一般性，不易通過(guò)空間向量來(lái)處理，這是理科同學(xué)要切記的。

分析空間平行關(guān)系、垂直關(guān)系的證明方法和轉(zhuǎn)化途徑通常有以下方法：

線線、線面、面面平行(垂直)關(guān)系的證明,常常通過(guò)轉(zhuǎn)化的策略加以解決。其關(guān)系為：

線線平行線面平行面面平行

線線垂直線面垂直面面垂直

線面平行的證明方法主要有兩種：一是利用線面平行的判定定理；二是利用平面平行的性質(zhì)

(若α∥β,aα,則a∥β)。

三、 掌握重要思想方法,實(shí)現(xiàn)降維簡(jiǎn)化轉(zhuǎn)換

復(fù)習(xí)中,要注意聯(lián)系平面圖形的知識(shí),利用類(lèi)比、聯(lián)想等方法,辨別平面圖形和立體圖形的異同,理解兩者的內(nèi)在聯(lián)系,感悟?qū)⒖臻g問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題是處理立體幾何問(wèn)題的重要思想。復(fù)習(xí)中對(duì)一些易錯(cuò)題要加以總結(jié)提高。如利用斜二測(cè)畫(huà)法,畫(huà)出的直觀圖與實(shí)際圖形面積比值為24；與邊長(zhǎng)為a的正三角形類(lèi)比可得到：棱長(zhǎng)為a的正四面體的高為h=63a,體積為V=212a3,內(nèi)切球的半徑為14h,外切球的半徑為34h。

科學(xué)是到處為家的，不過(guò)只是任何不播種的地方，它是不會(huì)使其豐收的。――赫爾岑

四、 空間向量與立體幾何

這是報(bào)考物理的同學(xué)在數(shù)學(xué)附加題中可能涉及的問(wèn)題。在08年以來(lái)的江蘇四次高考中,數(shù)學(xué)附加題中僅在08年、11年考查了《空間向量與立體幾何》內(nèi)容。

同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)備考時(shí)要體會(huì)“空間向量”的工具性作用。用“空間向量”這一工具來(lái)研究空間有關(guān)點(diǎn)、直線和平面的位置關(guān)系和度量問(wèn)題。要會(huì)運(yùn)用類(lèi)比、歸納等方法,通過(guò)向量及其運(yùn)算由平面向空間推廣的過(guò)程,體驗(yàn)數(shù)學(xué)在結(jié)構(gòu)上的和諧美,弄清空間向量與平面向量的區(qū)別與聯(lián)系。具體要求是：

1. 理解直線的方向向量與平面的法向量的意義；會(huì)用待定系數(shù)法求平面的法向量；

2. 能用向量語(yǔ)言表述線線、線面、面面的垂直和平行關(guān)系；

3. 能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理)；能用向量方法判斷一些簡(jiǎn)單的空間線面的平行和垂直關(guān)系；

4. 能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問(wèn)題；體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用。

【規(guī)律方法總結(jié)】

1. 求異面直線所成角,線面角或面面所成角,最終都?xì)w結(jié)到求兩直線方向向量夾角上,通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算求模、求數(shù)量積得解?？梢?jiàn),熟練掌握空間兩向量夾角的求法是解題的基本功．

2. 確定平面法向量時(shí),要明確法向量的不唯一性,為方便起見(jiàn),常選用一個(gè)較簡(jiǎn)潔的法向量。

篇7

關(guān)鍵詞：幾何；解析幾何；三角；模型

一、向量與平面幾何的關(guān)系

平面幾何是學(xué)習(xí)平面向量的重要載體，沒(méi)有平面幾何這一載體，學(xué)生很難理解平面向量的一些概念.同時(shí)由于向量可以用有向線段表示，這就為用向量解決平面幾何問(wèn)題創(chuàng)造了條件.牢牢把握向量與平面幾何的關(guān)系，一方面應(yīng)用向量加減法三角形法則與平行四邊形法則、向量的模、向量的平行與垂直等幾何意義解決問(wèn)題；另一方面結(jié)合平面幾何知識(shí)解決向量問(wèn)題.

例1.（05年浙江高考題）已知向量a≠e，e=1，對(duì)任意t∈R，恒有a-te≥a-e，則（ ）

A.ae B.a（a-e） C.e（a-e） D.（a+e）（a-e）

解：如圖1，設(shè)O，A為定點(diǎn)，■=a，■=e，■=te，t在變，te也在變，即點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，但■=t■，恒有■∥■，故O，P，H三點(diǎn)共線.因而a-te表示■的模長(zhǎng)，a-e表示■的模，對(duì)任意的t∈R，恒有a-te≥a-e成立，表示■≥■恒成立，所以恒有■■，即e（a-e），選C.

點(diǎn)評(píng)：解利用向量的減法的幾何意義和向量平行的充要條件，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、動(dòng)靜結(jié)合等思想把向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，非常直觀地找到了答案.

二、向量與解析幾何的關(guān)系

由于向量的坐標(biāo)化使向量與解析幾何建立一定的聯(lián)系，也改變了解析幾何中的一些傳統(tǒng)研究方法.由于向量?jī)?nèi)積的幾何幾何意義，即向量投影等概念，可以用來(lái)解決點(diǎn)到直線的距離.向量坐標(biāo)表示方法使方程思想有了更廣泛的應(yīng)用，應(yīng)用向量?jī)?nèi)積還可以解決兩條直線夾角等問(wèn)題，大大簡(jiǎn)化了解析幾何中的計(jì)算.但值得一提的是新教材中定比分點(diǎn)定理和兩條直線的夾角公式，它們是傳統(tǒng)教材的難點(diǎn)問(wèn)題，向量的引入可以廢除這兩個(gè)公式的“武功”，既減輕了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，又培養(yǎng)了綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力.

例2.（2009全國(guó)卷Ⅱ理）已知雙曲線C：■-■=1（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為■的直線交C于A、B兩點(diǎn)，若■=4■，則曲線C的離心率為（ ）

A.■ B.■ C.■ D.■

解：設(shè)雙曲線C：■-■=1的右準(zhǔn)線為l，過(guò)A、B分別作AMl于M，BNl于N，BDAM于D，由直線AB的斜率為■，知直線AB的傾斜角60°，∠BAD=60°，AD=■AB，

由雙曲線的第二定義有：

AM-BN=AD=■（■-■）=■AB=■（■+■）.

又■=4■

■?3■=■■e=■.故選A.

評(píng)析結(jié)合了向量的模的幾何意義和雙曲線的知識(shí)解決問(wèn)題.

三、向量與立體幾何中的關(guān)系

在選修2-1引入了空間向量，它的引入為解決三維空間中圖形的位置關(guān)系與度量問(wèn)題提供了一個(gè)十分有效的工具，將復(fù)雜繁瑣的立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的代數(shù)計(jì)算問(wèn)題，進(jìn)一步闡釋了幾何與代數(shù)之間的聯(lián)系.

例3.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=4，AB=2.以AC的中點(diǎn)O為球心、AC為直徑的球面交PD于點(diǎn)M，交PC于點(diǎn)N.

（1）求直線CD與平面ACM所成的角的大小；

（2）求點(diǎn)N到平面ACM的距離.

解：（1）如圖2所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2）；設(shè)平面ACM的一個(gè)法向量n=（x，y，z），由n■，n■可得：

2x+4y=02y+2z=0，令z=1，則n=（2，-1，1）.設(shè)所求角為α，則sinα=■=■，

所以所求角的大小為arcsin■.

（2）由條件可得，ANNC.在RtPAC中，PA2=PN?PC，所以PN=■，則NC=PC-PN=■，■=■，所以所求距離等于點(diǎn)P到平面ACM距離的■，設(shè)點(diǎn)P到平面ACM距離為h，則h=■=■，所以所求距離為■h=■.

點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用向量數(shù)量積的知識(shí)，將立體幾何線面角轉(zhuǎn)化為直線方向向量與法向量的夾角，點(diǎn)到面得距離轉(zhuǎn)化■在平面法向量n的投影，充分應(yīng)用了向量的幾何意義.

四、向量與三角的關(guān)系

用向量方法可研究解析幾何中兩直線夾角問(wèn)題，用向量方法還可研究三角形中有關(guān)角的計(jì)算（包括垂直問(wèn)題）和三角公式、余弦定理的推導(dǎo).與傳統(tǒng)比較，向量方法簡(jiǎn)潔明了，構(gòu)造思想對(duì)培養(yǎng)創(chuàng)新思維很有價(jià)值.向量作為一種新的運(yùn)算工具，常常與三角結(jié)合起來(lái)，廣泛應(yīng)用于解決三角問(wèn)題.

例4.（2010年四川高考題）（Ⅰ）1證明兩角和的余弦公式Cα+β：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；

2由Cα+β推導(dǎo)兩角和的正弦公式Sα+β：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ.

（Ⅱ）已知ABC的面積S=■■?■=3，且cosB=■，求cosC.

解（1）①如圖3，在直角坐標(biāo)系xoy內(nèi)做單位圓O，并作出角α、β與-β，使角α的始邊為OX，交O于點(diǎn)P1，終邊交O于P2；角β的始邊為OP2，終邊交O于P3；角-β的始邊為OP1，終邊交O于P4.

則P1（1，0），P2（cosα，sinα），P3（cos（α+β），sin（α+β）），P4（cos（-β），sin（-β））.

P1P3=P2P4及兩點(diǎn)間的距離公式，得

[cos（α+β）-1]2+sin2（α+β）=[cos（-β）-cosα]2+[sin（-β）-sinα]2

展開(kāi)并整理得：2-2cos（α+β）=2-2（cosαcosβ-sinαsinβ）

cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ.

②由①易得cos（■-α）=sinα，sinα（■-α）=cosα.

sin（α+β）=cos[■-（α+β）]=cos[（■-α）+（-β）]=sinαcosβ+cosαsinβ.

（2）由題意，設(shè)ABC的角B、C的對(duì)邊分別為b、c，

則S=■bc sinA=■■?■=bc cosA=3>0

A∈（0，■），cosA=3sinA.

又sin2A+cos2A=1，sinA=■，cosA=■.

由題意，cosB=■，得sinB=■，

cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=■，

故cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=-■.

點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用向量的坐標(biāo)表示和內(nèi)積運(yùn)算及兩點(diǎn)間的距離公式，推導(dǎo)出兩角和的余弦公式，比傳統(tǒng)方法更加簡(jiǎn)潔明了、簡(jiǎn)單易懂，充分體現(xiàn)了向量的工具性.

五、向量與數(shù)學(xué)模型的關(guān)系

由于向量具有明顯物理背景和幾何特征，而且具有形式特征，這就為向量與某些數(shù)學(xué)模型發(fā)生了聯(lián)系.如向量a=（x，y）的模等于■向量數(shù)量積的定義等都具有模型特征，所以只要具有類(lèi)似特征的問(wèn)題，都可以轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題來(lái)解決.

例5.已知a、b∈R+，a+b=1，求證：■+■≤2■.

證明：設(shè)m=（1，1），n=（■，■），

則m=■，n=■=2

由性質(zhì)m?n≤m?n，得■+■≤2■

點(diǎn)評(píng)：本題利用■與向量模的結(jié)構(gòu)上的類(lèi)似而構(gòu)造向量，然后利用向量數(shù)量積的模小于向量模的積來(lái)解決問(wèn)題.向量不等式“m?n≤m?n”也是解決不等式的重要工具，是實(shí)現(xiàn)由等到不等的重要手段，在求最值中經(jīng)常用到.由于向量具有雙重特征，向量的表示方法多樣，因而向量解決問(wèn)題方法也多樣.向量的應(yīng)用應(yīng)該不拘于幾何特征和代數(shù)形式，從不同的角度抓住不同的特征得到不同的方法解決問(wèn)題，可見(jiàn)異曲同工之妙.

參考文獻(xiàn)：

[1]祈平.課標(biāo)要求下向量及其教學(xué)的一些思考和建議[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2008（12）.

篇8

關(guān)鍵詞：向量法解題 思想 策略

在現(xiàn)實(shí)世界的各個(gè)領(lǐng)域，對(duì)事物的特性及采用度量來(lái)標(biāo)記是常見(jiàn)的手段，但在這個(gè)標(biāo)記的過(guò)程中，有的只需要標(biāo)記它的大小，如物體的質(zhì)量等，我們稱(chēng)這種度量的結(jié)果為標(biāo)量（純量）；而有的不僅需要大小還需要方向，如物體運(yùn)動(dòng)的速度等，我們稱(chēng)這種度量的結(jié)果為向量（矢量）。所謂向量法，即從問(wèn)題條件入手，找到與向量知識(shí)相關(guān)點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為向量背景下的形式，借助向量運(yùn)算法則求解，然后回到原問(wèn)題中達(dá)到解決問(wèn)題的目的。

數(shù)學(xué)思維是抽象的，數(shù)學(xué)解題的思想是具體的，由于向量的雙重身份，借助向量解題的思想就更具鮮活性?，F(xiàn)就幾種常見(jiàn)的向量法解題做出簡(jiǎn)單的闡述。

1.建模的思想方法

構(gòu)造模型是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的思想方法之一，運(yùn)用它可以迅速的研究某些實(shí)際問(wèn)題，

即：實(shí)際問(wèn)題 數(shù)學(xué)問(wèn)題 解決問(wèn)題 返回原問(wèn)題

向量中，不少知識(shí)點(diǎn)和問(wèn)題蘊(yùn)含著這一思想方法。如向量的加減法法則--可歸結(jié)為平行四邊形或三角形模型；有關(guān)位移等問(wèn)題--抽象為解三角形問(wèn)題等。教學(xué)中，適時(shí)地啟發(fā)學(xué)生對(duì)這些問(wèn)題的背景進(jìn)行分析，抽象和概括，形成建模的思想意識(shí)，增強(qiáng)分析和解決問(wèn)題的能力。

2.數(shù)形結(jié)合的思想方法

向量運(yùn)算律貌似代數(shù)，但他其實(shí)是幾何，故而它是數(shù)形結(jié)合的典范。他把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，即實(shí)現(xiàn)形--數(shù)--形，或是把數(shù)賦予幾何意義，即實(shí)現(xiàn)數(shù)--形--數(shù)，從而解決問(wèn)題。

3.平移變換的思想方法

平移變換是研究函數(shù)圖像或幾何圖形的一種重要的思想方法。通過(guò)適當(dāng)平移可使較復(fù)雜的函數(shù)解析式得到簡(jiǎn)化或某些幾何圖形中的隱蔽關(guān)系更加明朗。在向量一章中，相等向量，平行向量，共線向量等概念的建立及相關(guān)作圖的訓(xùn)練，作為向量知識(shí)的一個(gè)應(yīng)用--平移公式的推導(dǎo)，以及運(yùn)用平移公式解決有關(guān)問(wèn)題，均是這一思想方法的體現(xiàn)。

4.映射思想方法

映射思想：當(dāng)處理甲問(wèn)題有困難時(shí)，可以聯(lián)想適當(dāng)?shù)挠成?，把?wèn)題甲及其關(guān)系結(jié)構(gòu)，映射成與它有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系且容易處理的問(wèn)題乙，再把所得結(jié)果通過(guò)逆映射返回到原問(wèn)題的問(wèn)題中去，得到原問(wèn)題的解決方案。例如建立適當(dāng)坐標(biāo)系，把向量利用坐標(biāo)表示，利用數(shù)的運(yùn)算推理解決問(wèn)題。

5.化歸轉(zhuǎn)換的思想方法

化歸轉(zhuǎn)換：將一種研究對(duì)象在一定條件下轉(zhuǎn)化并歸結(jié)為另一種研究對(duì)象的思想方法。在向量中，如向量的夾角問(wèn)題，向量的平移，垂直關(guān)系的研究均可化歸為他們對(duì)應(yīng)向量或向量坐標(biāo)的運(yùn)算問(wèn)題；三角形形狀判斷可化歸為判斷向量的數(shù)量積與零的大小關(guān)系問(wèn)題等。

6.分解思想方法

按認(rèn)識(shí)原則，有些問(wèn)題需通過(guò)分解，才能清晰地了解數(shù)學(xué)問(wèn)題內(nèi)部的各種制約關(guān)系，從中找到一個(gè)解決問(wèn)題的方法。分解思想的實(shí)質(zhì)是分解--組合--分割--拼合的辯證思想，向量中基向量的應(yīng)用即是一個(gè)典型的例子。

7.分類(lèi)討論的思想方法

分類(lèi)討論的思想主要依據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象的不同屬性，將數(shù)學(xué)對(duì)象分為不同情形并對(duì)其研究得出結(jié)論的數(shù)學(xué)思想方法。向量知識(shí)中，如平行向量有同向和反向之分；定比分點(diǎn)公式中 λ的取值有大于1，大于0小于1，小于0之分等等。

8.方程的思想方法

向量雖然有其幾何的意義，但其運(yùn)算律確是代數(shù)的，因此，我們?cè)谔幚硐蛄繂?wèn)題時(shí)對(duì)于求解某向量或判別向量關(guān)系的問(wèn)題，可以借助方程的工具，利用消元的方式達(dá)到解決問(wèn)題的目的。在采用這種思想方法時(shí)，要注意基本向量的選擇。基本向量的選擇是根據(jù)題目的特性確定的。同時(shí)要注意基本向量是線性無(wú)關(guān)或彼此獨(dú)立條件下的向量，通常將同一頂點(diǎn)出發(fā)的若干向量作為基本向量。平面向量的基本定理給出了選擇基本向量的一種方法。

9.整體思想方法

向量既有大小又有方向，是一個(gè)整體。向量利用坐標(biāo)表示實(shí)現(xiàn)了幾何的代數(shù)化，對(duì)于也是一個(gè)整體，向量的許多運(yùn)算都可以用這個(gè)"整體"來(lái)解決。

10.公式化思想方法

公式化思想方法是指把問(wèn)題中反映的等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量中的等量關(guān)系，借助向量知識(shí)實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)化問(wèn)題，求解問(wèn)題。例如：兩向量相等的充要條件的坐標(biāo)表示形式為"若兩向量相等，則兩向量的坐標(biāo)相同"，利用此公式，在處理向量相等時(shí)，只須分析它們的坐標(biāo)是否相等即可。

參考文獻(xiàn)

[1]顧越嶺著.數(shù)學(xué)解題通論.廣西教育出版社.2001

[2]錢(qián)佩玲.邵光榮編著.數(shù)學(xué)思想方法與中學(xué)數(shù)學(xué).北京師范大學(xué)出版社2003

[3]教育部編輯部組織編寫(xiě).中學(xué)新課標(biāo)資源庫(kù)（數(shù)學(xué)卷）北京工業(yè)大學(xué)出版社2004

篇9

平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、模與夾角、平行與垂直問(wèn)題，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)屬中低檔題.數(shù)量積的幾何運(yùn)算與數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及其幾何意義，及數(shù)量積的變形應(yīng)用均為常規(guī)應(yīng)用，也是考查的重點(diǎn).

縱觀歷年全國(guó)各地高考卷，考查的內(nèi)容有：數(shù)量積運(yùn)算及其性質(zhì)、向量的模、向量的夾角、向量的投影、向量垂直.

再看湖北卷近幾年高考情況，考試內(nèi)容主要是數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、坐標(biāo)形式的求模公式、夾角公式或向量投影公式、坐標(biāo)形式的向量垂直的充要條件，沒(méi)有涉及數(shù)量積的幾何運(yùn)算.

命題特點(diǎn)

立足湖北，放眼全國(guó). 綜合近幾年全國(guó)各地的高考卷，平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用在高考命題中仍以穩(wěn)中求新、穩(wěn)中求活，在穩(wěn)定中發(fā)展.穩(wěn)定的是題目大多是以坐標(biāo)形式出現(xiàn)，考查數(shù)量積的幾何運(yùn)算或坐標(biāo)運(yùn)算，發(fā)展的是向量知識(shí)的綜合應(yīng)用有所加強(qiáng).

1. 數(shù)量積的坐標(biāo)表示重運(yùn)算、重基礎(chǔ)

數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算的特點(diǎn)是注重基本概念和坐標(biāo)形式的運(yùn)算公式，注重考查運(yùn)算能力.

例1 已知點(diǎn)[A（-1， 1）]，[B（1， 2）]，[C（-2， -1）]，[D（3，4）]，則向量[AB]在[CD]方向上的投影為 （ ）

A. [322] B. [3152]

C. [-322] D. [-3152]

解析 [AB=2，1]，[CD=5，5]，

向量[AB]在[CD]方向上的投影為

[AB?CDCD=2×5+1×552+52][=1552=322].

答案 A

點(diǎn)撥 兩個(gè)坐標(biāo)表示的向量的數(shù)量積就是對(duì)應(yīng)坐標(biāo)積的和，易錯(cuò)記為交叉坐標(biāo)積的和.向量的投影是數(shù)量積中的一個(gè)重要概念，易混淆向量[a]在[b]方向上的投影與向量[b]在[a]方向上的投影這兩個(gè)概念.前者是[acosθ]，后者是[bcosθ]，還易把投影當(dāng)作向量，投影是數(shù)量，可正可負(fù)可為零.

例2 已知點(diǎn)[O0，0，A0，b，Ba，a3]，若[OAB]為直角三角形，則必有 （ ）

A. [b=a3]

B. [b=a3+1a]

C. [b-a3b-a3-1a=0]

D. [b-a3+b-a3-1a=0]

解析 由條件得，[a≠0]，[b≠0]，

所以[∠AOB]不可能是直角.

又[OAB]為直角三角形，所以[∠OAB]或[∠OBA]是直角，即[OA?AB=0]或[OB?BA=0].

又[AB=（a，a3-b）]，所以[b（a3-b）=0]或[a2+a3（a3-b）=0，]

化簡(jiǎn)得[b=a3]或[b=a3+1a].

答案 C

點(diǎn)撥 向量垂直與向量平行一樣，也是一種重要的向量關(guān)系，在高考中出現(xiàn)的頻率很高.向量是否垂直，一是通過(guò)幾何法判斷，二是通過(guò)向量法判斷，看數(shù)量積是否為零.值得注意的是向量垂直則數(shù)量積為零，反之不成立.因?yàn)橄蛄看怪笔侵竷蓚€(gè)非零向量的關(guān)系，零向量與任一向量的數(shù)量積為零.

2. 數(shù)量積及幾何意義重運(yùn)算、重應(yīng)用

平面向量的數(shù)量積及幾何意義，通常以?xún)煞N方式出現(xiàn)，一是純向量形式，二是以幾何圖形為載體，重點(diǎn)是數(shù)量積的運(yùn)算.

例3 設(shè)[e1，e2]為單位向量，非零向量[b=xe1+ye2]，[x，y∈R].若[e1，e2]的夾角為[π6]，則[xb]的最大值等于 .

解析 由條件得，[b2=b2=（xe1+ye2）2]

[=x2+2xye1?e2+y2=x2+3xy+y2]，

因此[b2x2=1+3yx+y2x2][=yx+322+14≥14].

所以[bx]最小值為[12]，故[xb]的最大值為2.

答案 2

點(diǎn)撥 數(shù)量積是向量的一種運(yùn)算，它的結(jié)果是數(shù).理解數(shù)量積不僅要理解其含義，而且要理解其運(yùn)算律，數(shù)量積滿(mǎn)換律、分配律.無(wú)結(jié)合律，因?yàn)閇（a?b）?c]不是數(shù)量積，[（a?b）?c]是向量；無(wú)消去律，因?yàn)閇a?b=a?c（a≠0）]不能推出[b=c].向量的模即向量的大小，是向量的基本概念.向量的模的求法也有兩種，一是借助幾何圖形求線段長(zhǎng)度，二是通過(guò)向量運(yùn)算求得.而向量運(yùn)算求模有兩個(gè)公式，一是向量式[a=a2]，二是坐標(biāo)式[a=x2+y2]，[（x，y）]是向量[a]的坐標(biāo)，這兩個(gè)公式都應(yīng)熟練掌握.

例4 在平行四邊形[ABCD]中，[AD=1，][∠BAD=60°，][E]為[CD]的中點(diǎn)，若[AC?BE=1]，則[AB]的長(zhǎng)為 .

解析 如圖，[AC=AD+AB]，

[BE=BC+CE=AD-12AB]，

所以[AC?BE=][AD2+12AD?AB-12AB2]

=[1+12×1×AB×cos60°-12AB2]

[=1+14AB-12AB2=1]，解得[AB=12].

答案 [12]

點(diǎn)撥 有關(guān)幾何形式的數(shù)量積運(yùn)算，通常用基向量法，即選擇一組基底，將問(wèn)題向量用基底線性表示，運(yùn)用數(shù)量積定義和運(yùn)算法則，注意要充分利用平面圖形的幾何性質(zhì).

例5 設(shè)ABC，P0是邊AB上一定點(diǎn)，滿(mǎn)足P0B=[14]AB，且對(duì)于AB上任一點(diǎn)P，恒有[PB?PC≥P0B?P0C]，則 （ ）

A. [∠ABC=90°] B. [∠BAC=90°]

C. [AB=AC] D. [AC=BC]

解析 由題意，設(shè)|[AB]|=4，則|[P0B]|=1，過(guò)點(diǎn)[C作AB]的垂線，垂足為H，在AB上任取一點(diǎn)P，設(shè)[HP0=a]，則由數(shù)量積的幾何意義可得，

[PB?PC=PH?PB=PB-（a+1）PB]，

[P0B?P0C=-P0H?P0B=-a]，

于是[PB?PC≥P0B?P0C]恒成立，

等價(jià)于[PB-（a+1）PB≥-a]恒成立，

整理得[PB2-（a+1）PB+a≥0]恒成立，

只需[?=（a+1）2-4a=（a-1）2≤0]即可，于是[a=1].

因此我們得到[HB=2]，即[H是AB]的中點(diǎn)，

故[ABC]是等腰三角形，所以[AC=BC]，選D.

答案 D

點(diǎn)撥 數(shù)量積的幾何意義是：[a?b]等于[a]的模與[b]在[a]方向上投影之積，也可以等于[b]的模與[a]在[b]方向上的投影之積，實(shí)質(zhì)上就是求數(shù)量積的一種新方法.在數(shù)量積的幾何運(yùn)算中，若能根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)，確定向量端點(diǎn)在另一向量上射影位置，用幾何意義求數(shù)量積比較簡(jiǎn)單.

3. 向量應(yīng)用重綜合、重交匯

向量綜合應(yīng)用在高考中經(jīng)常得到體現(xiàn)，一是內(nèi)部知識(shí)的綜合，二是與三角函數(shù)、立體幾何、解析幾何綜合，近年來(lái)又出現(xiàn)與不等式、線性規(guī)劃問(wèn)題綜合的情況，可見(jiàn)綜合范圍有擴(kuò)大趨勢(shì).

例6 已知[a，b]是單位向量，[a?b=0].若向量[c]滿(mǎn)足[c-a-b=1]，則[c]的取值范圍是 （ ）

A. [2-1，2+1] B. [2-1，2+2]

C. [1，2+1] D. [1，2+2]

解析 法一：建立直角坐標(biāo)系，設(shè)[a=（1，0），][b=（0，1），][c=（x，y）.]

由[c-a-b=1]得，[（x-1）2+（y-1）2=1].

令[x-1=cosθ]，[y-1=sinθ]，

則[x2+y2=（cosθ+1）2+（sinθ+1）2][=3+22sin（θ+π4）].

[-1≤sin（θ+π4）≤1]，

[3-22≤x2+y2≤3+22].

[c=x2+y2]，

[2-1≤|c|≤2+1].

法二：因[c=（a+b）+（c-a-b），]由絕對(duì)值三角不等式得，

[a+b-c-a-b≤c≤a+b+c-a-b].

即[2-1≤|c|≤2+1].

答案 A

點(diǎn)撥 本題是向量模的取值范圍問(wèn)題，考查向量知識(shí)和方法的綜合應(yīng)用.向量?jī)?nèi)部知識(shí)的綜合，常出現(xiàn)向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積、平行與垂直、夾角與模的綜合，考查方法有代數(shù)法與幾何法.

備考指南

平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用是平面向量的重點(diǎn)知識(shí)，在每年高考中都占有一席之地.因而在復(fù)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)以基礎(chǔ)為主，從基本概念、基本運(yùn)算、基本方法、基本應(yīng)用出發(fā)，鞏固知識(shí)，培養(yǎng)能力.

1. 對(duì)以前考查的熱點(diǎn)，如向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算或數(shù)量積，不能放松.模與夾角的計(jì)算，平行與垂直的判斷，仍要熟練.

2. 對(duì)新增的熱點(diǎn)，如向量的數(shù)量積的幾何意義、向量的投影、向量的幾何運(yùn)算要引起重視.

3. 對(duì)向量的應(yīng)用，除了在三角、立幾、解幾中的應(yīng)用外，還要注意在不等式、線性規(guī)劃、數(shù)列等方面的應(yīng)用.

限時(shí)訓(xùn)練

1. 已知向量[a，b]，那么“[a?b=0]”是“向量[a，b]互相垂直”的 （ ）

A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件

C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件

2. 設(shè)[a，b]是兩個(gè)非零向量，下列能推出[a=b]的是 （ ）

A. [a∥b] B. [a2=b2]

C. [a?c=b?c] D. [a=b]且[a，b]的夾角為0°

3. 已知向量[a=（4，3）]，[b=（-1，2）]，若向量[a+kb]與[a-b]垂直，則[k]的值為 （ ）

A. [233] B. 7

C. [-115] D. [-233]

4. 設(shè)[a，b]是非零向量，若函數(shù)[f（x）=（xa+b）?（a-xb）（x∈R）]的圖象不是直線，且在[x=0]處取得最小值，則必有 （ ）

A. [ab]

B. [a∥b]

C. [a，b]不垂直且[a=b]

D. [a，b]不垂直且[a≠b]

5. 在四邊形[ABCD]中，[AC=（1，2）]，[BD=（-4，2）]，則該四邊形的面積為 （ ）

A. [5] B. [25]

C. [5] D. 10

6. [ABC]的外接圓的圓心為[O]，半徑為2，且[OA+AB+AC][=0]，則向量[CA]在[CB]方向上的投影為 （ ）

A. [3] B. 3

C. [-3] D. -3

7. 設(shè)[a，b，c]是單位向量，且[a?b=0]，則[（a-c）?（b-c）]的最小值為 （ ）

A. [2-1] B. [1-2]

C. [-2] D. [2]

8. 如圖，[ABC]的外接圓的圓心為[O]，[AB=2]，[AC=3，BC=7]，則[AO?BC]的值是 （ ）

A. [32] B. [52]

C. [2] D. [3]

9. 在邊長(zhǎng)為1的正六邊形[ABCDEF]中，記以[A]為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為[a1，a2，a3，a4，a5]；以[D]為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為[d1，d2，d3，d4，d5].若[m，M]分別為[（ai+aj+ak）?（dr+ds+dt）]的最小值、最大值，其中[{i，j，k}?{1，2，3，4，5}]，[{r，s，t}?{1，2，3，4，5}]，則[m，M]滿(mǎn)足 （ ）

A. [m=0，M>0] B. [m0]

C. [m

10. 如圖，在扇形[OAB]中，[∠AOB=60°]，[C]為弧[AB]上且與[A，B]不重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且[OC=xOA+yOB]，若[u=x+λy（λ>0）]存在最大值，則[λ]的取值范圍為 （ ）

A. （1，3） B. （[13]，3）

C. （[12]，1） D. （[12]，2）

11. 已知向量[a]，[b]滿(mǎn)足[a=（1，0），b=（2，4）]，則[|a+b|=]__________.

12. 已知向量[a，b]滿(mǎn)足[a=4，][b=3]且[（2a-][3b）?（2a+b）=61]，則[a]與[b]的夾角為 .

13. 已知向量[m=（1，2）]，[n=（1，1）]，若[m]與[m+λn]的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)[λ]的取值范圍為_(kāi)_________.

14. 在[RtABC]中，[∠C=90°]，若[ABC]所在平面內(nèi)一點(diǎn)[P]滿(mǎn)足[PA+PB+λPC=0].

（1）當(dāng)[λ=1]時(shí)，[PA2+PB2PC2=]___________；

（2）[PA2+PB2PC2]的最小值為_(kāi)__________.

15. 已知數(shù)列[an]是公差不為零的等差數(shù)列，[Sn]為其前[n]項(xiàng)的和. 等比數(shù)列[bn]的前三項(xiàng)分別為[a2，a5，a11].

（1）求數(shù)列[bn]的公比；

（2）若[a1=1]，[OQn=（ann，Snn2）（n∈N?）]，求[OQn]的最大值.

16. 設(shè)[ABC]的三個(gè)內(nèi)角[A，B，C]所對(duì)的邊分別為[a，b，c]，且滿(mǎn)足[（2a+c）BC?BA+cCA?CB=0].

（1）求角[B]的大小；

（2）若[b=23]，試求[AB?CB]的最小值.

17.已知[O]為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量[OA=（sinα，1）]，[OB=（cosα，0）]，[OC=（-sinα，2）]，點(diǎn)[P]滿(mǎn)足[AB=BP].

（1）記函數(shù)[f（α）=PB?CA]，[α∈（-π8，π2）]，討論函數(shù)[f（α）]的單調(diào)性，并求其值域；

（2）若[O，P，C]三點(diǎn)共線，求[OA+OB]的值.

18. 兩非零向量[a，b]滿(mǎn)足[2a+b]與[b]垂直，集合[A=][xx2+（a+b）x+ab=0]是單元素集.

篇10

【關(guān)鍵詞】解析幾何;向量的概念

The vector solution of the analytic geometry method

Ma Hong-yin

【Abstract】The topic in the analytic geometry because of a great deal of application property and sketch, make parts of student felling the topic be difficult to do, and from here creation awe by difficulty mental state, see resolution hair Mao.Then influence their result, influence study interest.If lead the vector into among them, get around for the ability a lot of and difficult processing of problem.The flat surface vector has several form and algebra form because of it of"dual identity", while study many other problem all have very extensive of application.It is contact several medium of knowledge, 1 which become mathematics knowledge in the high school hand over to remit a point.

【Key words】Analytic geometry;The concept of vector

解析幾何中的題目由于大量應(yīng)用性質(zhì)及圖形,使得部分學(xué)生感覺(jué)題目難做,并由此產(chǎn)生畏難心理,見(jiàn)解析題就發(fā)憷。進(jìn)而影響了他們的成績(jī),影響了學(xué)習(xí)興趣。如果將向量引入其中,就能回避好多難處理的問(wèn)題。平面向量由于其具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”,在研究其他許多問(wèn)題時(shí)都有很廣泛的應(yīng)用.它是聯(lián)系多項(xiàng)知識(shí)的媒介,成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn),數(shù)學(xué)高考重視能力立意,在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)上設(shè)計(jì)試題,因此,解析幾何與平面向量的融合交匯是新課程高考命題改革的發(fā)展方向和創(chuàng)新的必然趨勢(shì)。而學(xué)生普遍感到不適應(yīng),本文結(jié)合幾個(gè)例題,說(shuō)明平面向量在平面解析幾何中的一些簡(jiǎn)單應(yīng)用.由于建立直角坐標(biāo)系,給出了向量的坐標(biāo)表示式,由此導(dǎo)出了向量的加法、減法及實(shí)數(shù)與向量積的坐標(biāo)運(yùn)算,這就為用“數(shù)”的運(yùn)算處理“形”的問(wèn)題架起了橋梁。因此運(yùn)用向量方法解決平面幾何問(wèn)題,能夠?qū)?wèn)題中的隱蔽條件明朗化,復(fù)雜條件簡(jiǎn)單化,化難為易,最終能解決問(wèn)題。從而使學(xué)生體驗(yàn)到成功的樂(lè)趣,建立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心,又學(xué)到思考的方法,從而逐步提高推理的能力。

基礎(chǔ)知識(shí)梳理

1. 向量的概念、向量的幾何表示、向量的加法和減法;

2. 實(shí)數(shù)與向量的積、兩個(gè)向量共線的充要條件、向量的坐標(biāo)運(yùn)算;

3. 平面向量的數(shù)量積及其幾何意義、平面兩點(diǎn)間的距離公式、線段定比分點(diǎn)人坐標(biāo)公式和向量的平移公式;

4. 橢圓、雙曲線、拋物線的定義及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的靈活運(yùn)用;

5. 曲線方程(含指定圓錐曲線方程及軌跡方程);

6. 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題(交點(diǎn)、弦長(zhǎng)、中點(diǎn)弦與斜率、對(duì)稱(chēng)問(wèn)題)確定參數(shù)的取值范圍;

7. 平面向量作為工具綜合處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度、垂直、射影等問(wèn)題以及圓錐曲線中的典型問(wèn)題。

例題講解

1. 求軌跡問(wèn)題

例1. O為原點(diǎn),點(diǎn)A(1,1),B(1,-1).若存在 ,使點(diǎn)C滿(mǎn)足 ,其中 =1.求點(diǎn)C的軌跡方程______________

解:設(shè)C(x,y) 則(x,y) =(1,1)+ (1,-1)

=( ,)+(, )

=(+ ,- )

x=+ ,y= -

= , =

=1,

x2-y2=4

說(shuō)明:在引入向量的坐標(biāo)表示后,可以使向量運(yùn)算代數(shù)化,這樣就可以將“形”和“數(shù)”緊密地結(jié)合在一起。

練習(xí)1.平面直角坐標(biāo)系中, 為坐標(biāo)原點(diǎn),已知 ,若點(diǎn) 滿(mǎn)足 ,其中 ,且 ,則點(diǎn) 的軌跡方程為( D)

A.B.

C. D.

2.過(guò)點(diǎn) ,作直線 交雙曲線 于A、B不同兩點(diǎn),已知 。

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程,并說(shuō)明軌跡是什么曲線。

(2)是否存在這樣的直線 ,使 ?若存在,求出 的方程;若不存在,說(shuō)明理由。

解:(1)設(shè) 的方程為 ,代入

得

當(dāng) 時(shí),設(shè)

則

設(shè) ,由 ,

再將 代入 得 (*)

時(shí),滿(mǎn)足(*)式。

2.關(guān)于數(shù)量積的運(yùn)算

例2.設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)是 O,拋物線 y=x2與過(guò)點(diǎn)(0, )的直線交于A,B兩點(diǎn).

則 =( )

解:設(shè)A(x1,x12),B(x2,x22)

則 = (x1,x12)(x2,x22)=x1x2+( x1x2)2

設(shè)直線AB的方程為:y- =kx

則由y=x2

y- =kx解得x2-kx- =0

x1x2=- =-

說(shuō)明:向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,構(gòu)建起向量與解析幾何的密切關(guān)系,使向量與解析幾何融為一體。求此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是:利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,溝通向量與解析幾何的聯(lián)系。體現(xiàn)了向量的工具性。

練習(xí)(2007年新課程卷)設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為 ,拋物線 與過(guò)焦點(diǎn)的直線交于 兩點(diǎn),則 等于( B )

A. B. C.D.

3.方向向量的應(yīng)用

例3.雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,兩條漸近線的方向向量分別為 =(2,1), =(-2,1).P是雙曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),已知 =(5,0),的最小值為 ,求雙曲線的方程.

解:雙曲線的兩條漸近線的方向向量是 =(2,1),=(-2,1)

兩條漸近線分別為:y= x , y=- x

設(shè)雙曲線的方程為:x -4y =λ,P(x,y)

=(x-5,y)

=

=

=

當(dāng)x=4時(shí), 有最小值是 。

所以,得

雙曲線的方程是: ,即:

說(shuō)明:由于向量可以用一條有向線段來(lái)表示,有向線段的方向可以決定解析幾何中直線的斜率,故直線的方向向量與解析幾何中的直線有著天然的聯(lián)系。求解此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是:根據(jù)直線的方向向量得出直線方程,再轉(zhuǎn)化為解析幾何問(wèn)題解決。

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練習(xí)

(1)O是平面上一定點(diǎn),A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足

=+λ( + ),λ,則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)ABC 的(B)

(A)外心(B)內(nèi)心(C)重心 (D)垂心

(2)已知平面上直線l的方向向量 =(- , ),點(diǎn)O(0,0)和點(diǎn)A(1,-2)在l上的射影分別為O,和A,,則 =λ ,其中λ=( D )

(A) (B)- ( C)2(D)-2

4.向量夾角的應(yīng)用

例4已知A(x1,y1),B(x2,y2)是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點(diǎn),且y1y2

解:∠AOB為銳角,

>0,即x1x2+y1y2>0(*)

設(shè)M(x0,0),直線AB的斜率為k(k≠0),

則AB可以寫(xiě)成:y=k(x-x0)與y2=2px聯(lián)立

得:k2x2-(2k2x0+2p)x+kx02=0

于是:x1x2=x02

y12y22=(2px1)(2px2)=4p2x02

而y1y2

代入(*)式得:

x02-2px0>0

x0>0,x0>2p

易知:若ABx軸亦成立。

說(shuō)明:求解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是:先把向量用坐標(biāo)表示,再用解析幾何知識(shí)結(jié)合向量的夾角公式使問(wèn)題獲解;

練習(xí)

橢圓 的焦點(diǎn)為F1,F2 ,點(diǎn)P為該橢圓上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)∠F1PF2為鈍角時(shí),求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍。( )

5.共線向量的應(yīng)用

例5、已知橢圓 的長(zhǎng)、短軸端點(diǎn)分別為A、B,從此橢圓上一點(diǎn)M向x軸作垂線,恰好通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn) ,向量 與 是共線向量。

(1)求橢圓的離心率e;

(2)設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn),、 分別是左、右焦點(diǎn),求∠的取值范圍;

解:(1) , 。

是共線向量, ,b=c,故 。

(2)設(shè)

當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí),cosθ=0,θ 。

說(shuō)明:由于共線向量與解析幾何中平行線、三點(diǎn)共線等具有異曲同工的作用,因此,解析幾何中與平行線、三點(diǎn)共線等相關(guān)的問(wèn)題均可在向量共線的新情景下設(shè)計(jì)問(wèn)題。求解此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是:正確理解向量共線與解析幾何中平行、三點(diǎn)共線等的關(guān)系,把有關(guān)向量的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解析幾何問(wèn)題。