導(dǎo)語(yǔ)：如何才能寫(xiě)好一篇勾股定理的研究，這就需要搜集整理更多的資料和文獻(xiàn)，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

關(guān)鍵詞：框剪結(jié)構(gòu)；抗震鑒定；加固

中圖分類號(hào)： TU398文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

框架剪力墻結(jié)構(gòu)的概述

所謂的框架剪力墻結(jié)構(gòu)也稱框剪結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)是在框架結(jié)構(gòu)中布置一定數(shù)量的剪力墻，構(gòu)成靈活自由的使用空間，滿足不同建筑功能的要求，同樣又有足夠的剪力墻，有相當(dāng)大的側(cè)向剛度。對(duì)于框剪結(jié)構(gòu)的受力特點(diǎn)，是由框架和剪力墻結(jié)構(gòu)兩種不同的抗側(cè)力結(jié)構(gòu)組成的新的受力形式，所以它的框架不同于純框架結(jié)構(gòu)中的框架，剪力墻在框剪結(jié)構(gòu)中也不同于剪力墻結(jié)構(gòu)中的剪力墻。而剪力墻結(jié)構(gòu)是用鋼筋混凝土墻板來(lái)代替框架結(jié)構(gòu)中的梁柱，能承擔(dān)各類荷載引起的內(nèi)力，并能有效控制結(jié)構(gòu)的水平力。鋼筋混凝土墻板能承受豎向和水平力，它的剛度很大，空間整體性好，房間內(nèi)不外露梁、柱棱角，便于室內(nèi)布置，方便使用。剪力墻結(jié)構(gòu)形式是高層住宅采用最為廣泛的一種結(jié)構(gòu)形式。

某工程概況

某辦公樓建筑面積為2800m2，地下一層，地上二十七層，裙房2層，屋面標(biāo)高87.900m各層樓板均采用鋼筋混凝土現(xiàn)澆板，抗震設(shè)防烈度為7度，剪力墻抗震等級(jí)二級(jí)，框架抗震等級(jí)二級(jí)，場(chǎng)地類別Ⅱ類。底層為框架結(jié)構(gòu)，柱截面尺寸為800mm ×800mm，框架梁截面為350mm x1000mm，地下一層抗震墻厚320mm，一~二層抗震墻厚300mm，三~四層抗震墻厚度為250mm,五層以上抗震墻厚度為200mm.屋面為上人屋面，柔性防水做法，有組織排水?；A(chǔ)形式為平板式筏形基礎(chǔ)。因種種原因，現(xiàn)需要對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行抗震鑒定與加固設(shè)計(jì)。

結(jié)構(gòu)抗震鑒定

3.1、抗震鑒定主要流程，見(jiàn)圖1：

3.2、抗震鑒定方法。根據(jù)框架剪力墻結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)、結(jié)構(gòu)布置、構(gòu)造和抗震承載能力等因素，采用相應(yīng)的逐級(jí)鑒定方法?？拐痂b定的方法分為兩級(jí)，是篩選法的具體應(yīng)用。第一是以宏觀控制和構(gòu)造鑒定為主進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。第一級(jí)鑒定的內(nèi)容較少，容易掌握又確保安全；第二是在第一級(jí)鑒定的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，以抗震驗(yàn)算為主，結(jié)合構(gòu)造影響進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。當(dāng)結(jié)構(gòu)的承載力較高時(shí)，可適當(dāng)放寬某些構(gòu)造要求;或者，當(dāng)抗震構(gòu)造良好時(shí)，承載力的要求可酌情降低。當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)未給出具體鑒定標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，可采用抗震設(shè)計(jì)規(guī)范規(guī)定的方法，按下式進(jìn)行結(jié)構(gòu)構(gòu)件抗震驗(yàn)算:

≦（式 1）

式1中，S—結(jié)構(gòu)構(gòu)件內(nèi)力組合的設(shè)計(jì)值；R—結(jié)構(gòu)構(gòu)件承載力設(shè)計(jì)值；—抗震鑒定的承載力調(diào)整系數(shù)。這種鑒定方法，將抗震構(gòu)造要求和抗震承載力驗(yàn)算要求更緊密得聯(lián)合在一起，具體體現(xiàn)了結(jié)構(gòu)抗震能力是承載能力和變形能力兩個(gè)因素的有機(jī)結(jié)合。

3.3、抗震鑒定在本工程中的應(yīng)用

首先對(duì)砌筑用磚和混凝土強(qiáng)度采用回彈法、對(duì)砂漿采用回彈法和貫人法進(jìn)行檢測(cè)。檢測(cè)結(jié)果表明:結(jié)構(gòu) 1~3 層混凝土強(qiáng)度為 47MPa，結(jié)構(gòu)四層至頂層混凝土強(qiáng)度實(shí)測(cè)為 43MPa，均略高于平均值29.5MPa，綜合評(píng)定其抗壓強(qiáng)度符合規(guī)范要求；其次采用采用經(jīng)緯儀棱線投射法對(duì)房屋外墻棱線傾斜進(jìn)行測(cè)量，測(cè)定建筑物外墻頂點(diǎn)相對(duì)底部的偏移值，結(jié)果顯示，該房屋最大傾斜率為 1.1‰，在規(guī)范限值范圍內(nèi)；第三是抗震承載力分析。第四是抗震驗(yàn)算。在鑒定驗(yàn)算的過(guò)程中，結(jié)構(gòu)按丙類建筑考慮，屬于A 級(jí)高度的框架剪力墻結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)防列度為七度，Ⅱ類場(chǎng)地，設(shè)計(jì)地震分組為第一組，多遇地震時(shí)場(chǎng)地設(shè)計(jì)特征周期取為 0.35s，設(shè)計(jì)基本加速度取為 0.10g。該房屋的框架抗震等級(jí)為二級(jí)，剪力墻抗震等級(jí)為二級(jí)。對(duì)該結(jié)構(gòu)按現(xiàn)行規(guī)范進(jìn)行抗震驗(yàn)算，計(jì)算軟件采用 10 版 SATWE 軟件和 ETABS，將兩款計(jì)算軟件的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行相互校核，以保證計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，建立結(jié)構(gòu)的整體模型。結(jié)構(gòu)整體計(jì)算采用振型分解反應(yīng)譜分析法，計(jì)算振型個(gè)數(shù)取 21，考慮扭轉(zhuǎn)耦聯(lián)，振型組合采用 CQC 振型組合方法。如果按7度抗震設(shè)防進(jìn)行了多遇地震作用下的彈性分析。結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性見(jiàn)表1：

通過(guò)計(jì)算，SATWE 與 ETABS 計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)位移信息相差較小，說(shuō)明計(jì)算結(jié)果比較可信。SATWE 的計(jì)算結(jié)果如下：結(jié)構(gòu) X、Y 方向最大層間位移角分別為 1/1024 和 1/838，X、Y 方向最大層間位移與層間平均層間位移的比值分別為 1.22 和 1.27，滿足規(guī)范相關(guān)限值的要求。

4、抗震加固方案

4.1、房屋的抗震承載力加固措施。為增強(qiáng)房屋底層的抗震承載力，提高房屋的整體剛度，采用鋼筋網(wǎng)水泥砂漿對(duì)底層磚墻雙面加固。材料選用水泥砂漿，砂漿強(qiáng)度等級(jí)為M10，厚度為40mm。

4.2、局部構(gòu)件承載力加固措施。首先采用單榀框架計(jì)算，縱向連接依據(jù)構(gòu)造措施設(shè)計(jì)。計(jì)算發(fā)現(xiàn)，底層軸、橫向連系梁截面、配筋均不足，采用擴(kuò)大截面加固法；其次是框架梁梁底配筋不足的問(wèn)題，可采用碳纖維加固法，有效提高框架梁強(qiáng)度且不影響使用空間；第三是針對(duì)2,3層部分墻體被拆除，可采用雙拼槽鋼加固，為防止局部墻肢破壞、使結(jié)構(gòu)受力傳播合理，對(duì)剩余磚墻及槽鋼梁進(jìn)行擴(kuò)大截面加固，磚墻采用截面擴(kuò)大加固，應(yīng)延伸至1層。

4.3、構(gòu)造柱設(shè)計(jì)加固措施。 如果是房屋由于抗震性能和整體性不足，可以采用增加構(gòu)造柱的加固方法。構(gòu)造柱按照規(guī)范要求整體布置，根據(jù)布置位置的不同，采用不同的做法。同時(shí)，新增構(gòu)造柱應(yīng)同原有墻體及圈梁可靠連接。

4.4、新增隔墻的加固措施。新增隔墻有利于結(jié)構(gòu)傳力，采用承重墻的做法。在一般情況下，可以采用兩根8沿墻體全長(zhǎng)拉通，間隔500mm設(shè)置，與框架柱可靠連接。

4.5、抗震加固在本工程中的方案應(yīng)用

由上文的抗震鑒定驗(yàn)算可知，對(duì)于計(jì)算結(jié)果中配筋不足的梁、柱，本工程采用粘貼碳纖維的方案對(duì)本工程進(jìn)行加固。對(duì)于七層的超筋柱采用增大截面法進(jìn)行加固，新增混凝土的厚度不小于 60mm，考慮到施工的可行性，將原截面直徑為 800mm 的混凝土柱加大截面至 1000mm，新增混凝土采用細(xì)石混凝土，強(qiáng)度不低于 C40，新老混凝土交界面需鑿毛處理，并在增大的混凝土中配一定量的受力鋼筋與箍筋，并與原結(jié)構(gòu)構(gòu)件間用植筋的方法增加拉結(jié)筋進(jìn)行連接。該房屋三層高為 6.4m，在三層 3.2m 高度處增設(shè)隔墻。隔墻采用鋼梁，帶肋花紋鋼板作樓面。夾層樓面梁布置與原結(jié)構(gòu)三層樓面梁布置類似。鋼梁為焊接工字形截面梁，鋼梁通過(guò)焊接型環(huán)形箍板固定于原混凝土柱。環(huán)形箍板由化學(xué)錨栓固定于原混凝土柱?；y鋼板及加勁肋厚度均取為 8mm。采用以上措施加固后，按砌體結(jié)構(gòu)再次進(jìn)行抗震驗(yàn)算。

本次采用 SATWE 軟件對(duì)增加隔墻后的整體結(jié)構(gòu)重新分析，其中隔墻部分主梁與柱之間連接為剛接，主梁與剪力墻之間連接為鉸接，次梁與主梁之間連接為鉸接；由于花紋鋼板樓面的剛度較弱，分析時(shí)將此層樓板設(shè)為彈性膜；結(jié)構(gòu)七層計(jì)算超筋柱按增大截面后的截面輸入。計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表 2 所示：

結(jié)構(gòu) X、Y 方向最大層間位移角分別為 1/998 和 1/815，X、Y 方向最大層間位移與層間平均層間位移的比值分別為 1.24 和 1.30，滿足規(guī)范要求；原七層超筋柱經(jīng)加固后的計(jì)算配筋率為 3.6%，能滿足抗震規(guī)范中規(guī)定的柱縱筋配筋率的要求，證明采用增大截面法對(duì)于加固結(jié)構(gòu)超筋構(gòu)件的有效性。

結(jié)束語(yǔ)

總之，加固設(shè)計(jì)應(yīng)根據(jù)結(jié)構(gòu)的布置情況，合理的布置剪力墻、鋼支撐的位置、數(shù)量，保證加固后結(jié)構(gòu)體形、平、立面剛度的均勻性，避免出現(xiàn)加固后出現(xiàn)新的薄弱環(huán)節(jié)，同時(shí)在進(jìn)行加固設(shè)施工時(shí)，應(yīng)采用有效的施工措施，保證新增構(gòu)件與原構(gòu)件應(yīng)有可靠錨固與連接，同時(shí)避免對(duì)原結(jié)構(gòu)構(gòu)件造成損傷。使新舊構(gòu)件協(xié)同工作，達(dá)到預(yù)期的加固效果。并且由于地震作用的復(fù)雜性，如何選用更加合理的方法對(duì)鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行地震反應(yīng)分析，以達(dá)到較為精確的計(jì)算結(jié)構(gòu)彈塑性變形，依然需要做進(jìn)一步研究。

參考文獻(xiàn)：

[1]任鳳鳴.鋼管混凝土框架—核心筒減震結(jié)構(gòu)的抗震性能研究[D].廣州大學(xué),2012.

篇2

    一、注意分清直角邊和斜邊

    例1 在Rt 中,a=8㎝,b=10㎝, ,求第三邊長(zhǎng)c.

    錯(cuò)解:由勾股定理,得 ,  .所以第三邊長(zhǎng)為 ㎝.

    分析:本題解法中錯(cuò)在沒(méi)有正確運(yùn)用題中所給的條件,忽視了 ,由于 ,所以b應(yīng)為斜邊,而不是c.

    正解:因?yàn)?, , ,

    ,故第三邊長(zhǎng)為 6㎝.

    二、注意定理的應(yīng)用條件

    例2 已知 中,三邊長(zhǎng)a、b、c為整數(shù),其中a=3㎝,b=4㎝,求第三邊c的長(zhǎng).

    錯(cuò)解: 由勾股定理,得 ,  , (㎝).

    分析: 勾股定理使的條件必須是在直角三角形中,本題解法是受"勾3股4弦5 "的影響,錯(cuò)把 當(dāng)成直角三角形,導(dǎo)致錯(cuò)誤的使用勾股定理.

    正解: 由三角形三邊關(guān)系可得 , ,又c為整數(shù), C的長(zhǎng)應(yīng)為2㎝、3㎝、4㎝、5㎝或6㎝.

    三、注意定理和逆定理的區(qū)別

    例3 判斷下列三條線斷能否構(gòu)成直角三角形:a=3、b=4、c=5.

    錯(cuò)解: ,即 ,所以根據(jù)勾股定理可知,a、b、c能構(gòu)成直角三角形.

    分析: 本題錯(cuò)在在解題依據(jù)上混淆了定理和逆定理的條件結(jié)論,勾股定理是由"形"推得"數(shù)",而逆定理則是由"數(shù)"推得"形".因此不可混用.

    正解:  ,即 ,由勾股定理逆定理可知,三條線段能構(gòu)成直角三角形.

    四、注意解題語(yǔ)言敘述

    例4 已知三角形的三邊長(zhǎng)為5、12、13,試說(shuō)明三角形是直角三角形.

    錯(cuò)解:因?yàn)橹苯沁吺?和12,斜邊是13 ,所以 ,故三角形是直角三角形.

    分析:解法中錯(cuò)在一開(kāi)始就明示了"直角邊"和"斜邊",事實(shí)上只有在三角形是直角三角形的條件下才能稱其為"直角邊"、"斜邊".

    正解: ,滿足 ,由由勾股定理逆定理可知, 三角形是直角三角形.

    五、注意分類討論

    例5  在Rt 中,已知兩邊長(zhǎng)為3、4,求第三邊的長(zhǎng).

    錯(cuò)解: 因?yàn)?是直角三角形,  的第三邊長(zhǎng)為 .

    分析: 本題錯(cuò)在只考慮3、4為直角邊的可能,而忽視了4也可以作為斜邊的情況,因此須分類討論.

    正解:(1)若4為直角邊,則第三邊的長(zhǎng)為 ;(2) 若4為斜邊, 則第三邊的長(zhǎng)為 .故第三邊長(zhǎng)為5或 .

    例6已知在 中,AB=4,AC=3,BC邊上的高等于2.4,求 的周長(zhǎng).

    錯(cuò)解:如圖1所示,

    由勾股定理,得 ,

    , .

    的周長(zhǎng)為 .

    分析:上面解法中,只考慮了三角形的高在三角形內(nèi)部的情況,忽視了高在形外的情況,即當(dāng) 是鈍角三角形時(shí).因此須分類討論.

    正解: 由勾股定理,得 , .

    (1)若 是銳角(如圖1),則 ,這時(shí) 的周長(zhǎng)為

    ;

    (2) 若 是鈍角(如圖2),

    則 ,這時(shí) 的周長(zhǎng)為 .所以 的周長(zhǎng)為12或 .

    例7已知在Rt 中,兩直角邊的長(zhǎng)為20和15, ,求BD的長(zhǎng).

    錯(cuò)解: 如圖3所示,

    由題意根據(jù)勾股定理,得 ,又由面積法可得

    , ,在Rt 中,由勾股定理得BD= .

    分析:本題錯(cuò)在只考慮了AB的長(zhǎng)是20的可能,忽視了AC的長(zhǎng)也可能為20的情況.因此須分兩種情況求解.

    正解: 由題意根據(jù)勾股定理,得 ,又由面積法可得 , .

    (1)當(dāng)AB=20時(shí),如圖3,BD= .

    (2) 當(dāng)AC=20時(shí),如圖4,

    BD= .

篇3

關(guān)鍵詞：勾股定理；歷史；證明

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2012）10-0106-02

在我國(guó)最古老的數(shù)學(xué)著作——《周髀算經(jīng)》的開(kāi)頭，記載著一段周公（西周著名的政治家，公元前1100年左右）向商高（周時(shí)的賢大夫）請(qǐng)教數(shù)學(xué)知識(shí)的對(duì)話，昔者周公問(wèn)商高曰：“竊聞乎大夫善數(shù)也，請(qǐng)問(wèn)昔者包犧立周天歷度——夫天可不階而升，地不可得尺寸而度，請(qǐng)問(wèn)數(shù)安從出？”商高曰：“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，……以為勾廣三，股修四，徑偶五。既方之……”譯文：從前周公問(wèn)商高：“我私下聽(tīng)說(shuō)你善于演算，請(qǐng)問(wèn)遠(yuǎn)古者包犧氏（傳說(shuō)中的人物）對(duì)整個(gè)天空逐于量度之事是如何完成的，那天不能由臺(tái)階而上，地不能用尺寸來(lái)量，請(qǐng)問(wèn)相關(guān)的數(shù)據(jù)是怎樣產(chǎn)生的？”商高說(shuō)：“……在對(duì)矩形（長(zhǎng)方形）沿對(duì)角線對(duì)折時(shí)，會(huì)產(chǎn)生短邊（勾）長(zhǎng)為3，長(zhǎng)邊（股）長(zhǎng)為4，斜長(zhǎng)（弦）為5的直角三角形的比率?！惫视腥朔Q之為“商高定理”。

篇4

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；《探索勾股定理》；拓展性課程

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2017）02-0087

眾所周知，勾股定理的內(nèi)容非常豐富，但現(xiàn)行的教材（以浙教版為例）只安排兩個(gè)課時(shí)，教學(xué)受課時(shí)的限制，不能充分利用勾股定理發(fā)展學(xué)生的問(wèn)題解決、人文積淀、理性思維等核心素養(yǎng)。本文以開(kāi)發(fā)《探索勾股定理》的拓展性課程為例，展示以學(xué)校教研組為團(tuán)隊(duì)如何依托數(shù)學(xué)課本開(kāi)發(fā)拓展性課程，以期拋磚引玉。中國(guó)學(xué)生發(fā)展六大核心素養(yǎng)中有十八個(gè)基本要點(diǎn)，其中三個(gè)是問(wèn)題解決、人文積淀、理性思維，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的前言中也有類似的表述。對(duì)應(yīng)三個(gè)基本要點(diǎn)確定三個(gè)課時(shí)的拓展性課程，在上完基礎(chǔ)性課程的兩個(gè)課時(shí)后進(jìn)行。因篇幅所限，只展示每個(gè)課時(shí)的教學(xué)目標(biāo)、學(xué)習(xí)內(nèi)容及要求、課外作業(yè)。

第一課時(shí)：勾股定理在生活中的應(yīng)用

設(shè)置緣由：數(shù)學(xué)課最缺的是實(shí)踐課，學(xué)生非常喜歡實(shí)踐課，開(kāi)發(fā)團(tuán)隊(duì)成員一致同意每學(xué)期開(kāi)發(fā)一節(jié)實(shí)踐課。

教學(xué)目標(biāo)：引導(dǎo)學(xué)生觀察生活，體驗(yàn)生活中的數(shù)學(xué)，體驗(yàn)用數(shù)學(xué)模型刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界。

活動(dòng)內(nèi)容及要求：（1）帶學(xué)生參觀有人字梁結(jié)構(gòu)的農(nóng)村老宅，請(qǐng)當(dāng)?shù)厥炙嚤容^好的手藝人，一個(gè)木匠，一個(gè)泥水匠當(dāng)講解員。（2）泥水匠展示方地基的方法。造房子時(shí)要先奠基，在一百多平方米的地上要設(shè)置很多個(gè)直角，選好位置打下木樁，固定好線，沿線做墻腳。怎樣使墻角正好是直角呢？先沿房子的朝向打下兩個(gè)木樁，兩個(gè)木樁之間的距離為三尺，調(diào)整第三個(gè)木樁的位置，使它與前兩個(gè)木樁的距離分別為四尺與五尺。拉上線，再微調(diào)。泥水匠師傅說(shuō)，這種方地基的方法是師傅們口耳相傳的好方法，若是正式造房子開(kāi)工方地基的日子，儀式很隆重。（3）木匠師傅主要舉了兩個(gè)例子。一個(gè)例子是如何預(yù)算建造斜屋頂結(jié)構(gòu)的房子用到的木料，特別是人字梁結(jié)構(gòu)中斜線部分的木料長(zhǎng)度的計(jì)算方法。第二個(gè)例子是如何在大塊的板材中確定直角。（4）教師作為主持人、主持師傅與學(xué)生的互動(dòng)，讓學(xué)生嘗試用數(shù)學(xué)模型解釋實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。

課外作業(yè)：找一個(gè)生活中實(shí)際用到勾股定理的例子，寫(xiě)心得體會(huì)交流。

第二課時(shí)：勾股定理的歷史文化

收集方法：這部分內(nèi)容多而雜。動(dòng)員團(tuán)隊(duì)所有成員參與，從網(wǎng)上和書(shū)本中搜集并整理。

教學(xué)目標(biāo)：在對(duì)勾股定理歷史了解的過(guò)程中，感受數(shù)學(xué)文化，感受歷代世界人民的智慧和探索精神，感受數(shù)學(xué)知識(shí)源遠(yuǎn)流長(zhǎng)和數(shù)學(xué)價(jià)值的偉大。

學(xué)習(xí)內(nèi)容及要求：

（1）勾股定理的發(fā)現(xiàn)：公元前1100多年的《周髀算經(jīng)》中，就有勾股定理的記載，相傳是商代商高發(fā)現(xiàn)的。三國(guó)時(shí)的趙爽給出了證明，2002年北京國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)的徽標(biāo)就是趙爽證明勾股定理用的弦圖。勾股定理被西方人稱為畢達(dá)哥拉斯定理，是古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯于公元前550年發(fā)現(xiàn)的。相傳畢達(dá)哥拉斯花了很多的精力才證明了這個(gè)定理，他很高興，于是宰了百頭牛慶賀一番，不過(guò)畢達(dá)哥拉斯對(duì)勾股定理的證明方法已經(jīng)失傳。這個(gè)定理有流傳很廣，印度、希臘、巴比倫、中國(guó)、埃及等文明古國(guó)對(duì)此定理都有所研究。要求學(xué)生課前和課后整理出趙爽和畢達(dá)哥拉斯的相關(guān)成果，了解《周髀算經(jīng)》等中國(guó)古代經(jīng)典數(shù)學(xué)著作。

（2）勾股定理巨大輻射能力：①勾股定理是數(shù)與形結(jié)合的典范，啟發(fā)后人對(duì)函數(shù)的研究；②畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的希帕索斯利用勾股定理導(dǎo)發(fā)現(xiàn)了根號(hào)2，引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，數(shù)從有理數(shù)擴(kuò)展到實(shí)數(shù)；③勾股定理使數(shù)學(xué)在追求邏輯體系和數(shù)學(xué)美的過(guò)程中發(fā)展了現(xiàn)代數(shù)學(xué)；④勾股定理中的公式是一個(gè)最早的不定方程，引發(fā)了包括著名的費(fèi)馬大定理。⑤勾股樹(shù)的拓展，勾股樹(shù)中的正方形可以變換為正三角形、半圓、月亮形等許多圖形。要求學(xué)生例舉數(shù)形結(jié)合的例子；能描述三次數(shù)學(xué)危機(jī)；能舉例一些現(xiàn)代數(shù)學(xué)；了解費(fèi)馬大定理的內(nèi)容及費(fèi)馬的成就。

（3）勾股定理的證明方法多樣化。由于勾股定理的證明起點(diǎn)很低，所以千百年來(lái)下至業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者、普通的老百姓，上至著名的數(shù)學(xué)家、國(guó)家總統(tǒng)都參與了勾股定理的證明。勾股定理有四百多種證明方法，目前還找不到一個(gè)定理的證明方法之多能超過(guò)勾股定理。

“總統(tǒng)”證法的故事：1876年一天的傍晚，美國(guó)的議員伽菲爾德由于受到了兩個(gè)小孩的追問(wèn)，開(kāi)始對(duì)勾股定理證明進(jìn)行思考……后來(lái)他在繼承的基礎(chǔ)上反復(fù)思考終于找到了獨(dú)特的證法。1876年，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他的證法。由于在1881年伽菲爾德就任美國(guó)第二十任總統(tǒng)，人們就把這一證法稱為“總統(tǒng)”證法。要求學(xué)生課前和課后搜集有趣的勾股定理證明故事并交流。

第三課時(shí)：勾股定理的證明方法

證明方法選擇的標(biāo)準(zhǔn)：證法有四百多種，但不能窮盡，要選擇重要的、典型的、適合初中學(xué)生的證法。

教學(xué)目標(biāo)：在勾股定理的探索過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的理性思維和創(chuàng)新能力，體會(huì)深層次的數(shù)形結(jié)合；發(fā)展形象思維，體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性，培養(yǎng)探索精神。

學(xué)習(xí)內(nèi)容及要求：

（1）趙爽證法。最早對(duì)勾股定理進(jìn)行證明的，是三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽。如圖1，就是趙爽創(chuàng)造的弦圖。以a、b（b>a）為直角邊，c為斜邊作四個(gè)全等的直角三角形拼成所示形狀，4×（1/2）ab+（b-a）2=c2，a2+b2=c2這是課本上的證法，不必細(xì)講。應(yīng)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到本題的證法并非嚴(yán)密的演繹推理，如圖形中的內(nèi)外兩個(gè)正方形就沒(méi)有證明。

（2）鄒元治證法。如圖2，也是用面積法，證明方法略。

（3）總統(tǒng)證法。如圖 3， 這個(gè)證明方法是趙爽證明方法的變形，也是用面積法，證明方法略。

（4）歐幾里德證法。如圖4，以a、b、c分別為直角邊斜邊RtABC，再分別以a、b、c為邊，在直角三角形外部作正方形ABED、CBKG、ACHF，連結(jié)BF、CD，過(guò)C作CLDE，交AB于點(diǎn)M，交DE于點(diǎn)L.AF=AC，∠FAB=∠CAD，AB=AD，F(xiàn)AB≌CAD.SFAB=（1/2）a2，而SCAD等=（1/2）S矩形ADLM，S矩形ADLM=a2。同理可證，S矩形MLEB=b2.S正方形ADEB=S矩形ADLM+S矩形MLEB，c2=a2+b2，即a2+b2=c2。應(yīng)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到本題的證法是典型演繹推理，是歐氏幾何，后面兩種證法也是如此。

（5）相似三角形性質(zhì)證法。如圖5，RtABC中，a、b、c分別為直角邊斜邊，過(guò)點(diǎn)C作CD AB，垂足為D.可證得CAD∽BAC， AD/AC=AC/AB，AC2=AD× AB.同理BC2=BD× AB，AC2 +BC2=AB（AD+ BD）= AB2，即a2+b2=c2。

（6）切割定理證法。如圖6，RtABC中，a、b、c分別為直角邊斜邊，以B為圓心、a為半徑作圓，交AB及AB的延長(zhǎng)線分別于D、E，則BD=BE=BC=a，因?yàn)椤螧CA=90°，點(diǎn)C在B上，所以AC是B的切線。由切割線定理得AC2=AD×AE=（AB-BD）（AB+ BE） =（c-a）（c+a）=c2-a2， 即b2=c2-a2，所以a2+b2=c2。

（7）證法評(píng)析。中國(guó)證法的獨(dú)到之處是善用面積法，巧妙地避開(kāi)了角的性質(zhì)及平行線性質(zhì)的繁瑣理論，簡(jiǎn)潔明了，吳文俊、張景中等發(fā)展的數(shù)學(xué)機(jī)械化方法深受中國(guó)古代數(shù)學(xué)思想的影響。后三個(gè)證法追求嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬻w系，對(duì)提升人們的理性精神，注重演繹推理的科學(xué)精神具有不可替代的地位。

篇5

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；勾股定理；人教版教材；編排；商榷

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-010X（2015）06-0071-03

一、人教版教材勾股定理內(nèi)容編排

勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，是數(shù)形結(jié)合的一座橋梁，是人類早期發(fā)現(xiàn)、證明、運(yùn)用的重要數(shù)學(xué)定理之一，對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展也產(chǎn)生了重要而深遠(yuǎn)的影響。為了使學(xué)生較好地掌握這一定理，人教版數(shù)學(xué)教材在八年級(jí)（初二）下冊(cè)安排了這一內(nèi)容。教材通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生觀察、猜想、計(jì)算、證明等活動(dòng)學(xué)習(xí)并掌握勾股定理，還介紹了中國(guó)古代對(duì)勾股定理的研究成果，旨在培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感。這符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，是很用心的編排?？晌覀儚膶W(xué)生學(xué)習(xí)效果的反饋中發(fā)現(xiàn)：學(xué)生離課標(biāo)的要求有較大差距，原因何在呢？為此，我們用問(wèn)卷和訪談兩種方式進(jìn)行了調(diào)查。問(wèn)卷結(jié)果顯示：有81%的同學(xué)認(rèn)為勾股定理很重要。有49%的同學(xué)認(rèn)為勾股定理很難學(xué)。在調(diào)查勾股定理的證法時(shí)，發(fā)現(xiàn)有58%的同學(xué)能畫(huà)出證法的圖，其中34%的同學(xué)畫(huà)出的是趙爽弦圖，8%的同學(xué)畫(huà)出的是加菲爾德圖，2%的同學(xué)畫(huà)出的是“傳說(shuō)中的畢達(dá)哥拉斯圖”。 但只有27%的同學(xué)正確寫(xiě)出了證法，只有1%的同學(xué)用的是趙爽的出入相補(bǔ)法。訪談中我們還發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生認(rèn)為畢達(dá)哥拉斯對(duì)勾股定理的貢獻(xiàn)比趙爽大。大部分學(xué)生不清楚中國(guó)是什么時(shí)候開(kāi)始使用勾股定理的。

這種狀況的出現(xiàn)顯然不能排除教師的教和學(xué)生的學(xué)這兩方面造成的原因。但通過(guò)進(jìn)一步的分析，我們發(fā)現(xiàn)教材在編排方面有值得商榷的地方。

（一）內(nèi)容呈現(xiàn)的邏輯順序易誤導(dǎo)學(xué)生

教材在這一章引言介紹了我國(guó)古代對(duì)勾股定理的研究成果，而正文卻從畢達(dá)哥拉斯觀察地板格子發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形三邊數(shù)量關(guān)系引入，再引申到一般直角三角形，然后是趙爽的證明。旁邊又注明“在西方，人們稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定理”。在后面的閱讀思考中又有“傳說(shuō)中的畢達(dá)哥拉斯的”證法。引言部分容易被學(xué)生忽視掉，而從第一節(jié)讀起來(lái)讓人感覺(jué)勾股定理的發(fā)現(xiàn)到證明都是畢達(dá)哥拉斯，趙爽只是給出了一種證法而已。學(xué)生的這種印象先入為主，會(huì)成為最深刻的印記――提起勾股定理就會(huì)想到畢達(dá)哥拉斯。而中國(guó)人對(duì)勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明都比畢達(dá)哥拉斯早很多。這種誤導(dǎo)對(duì)中國(guó)學(xué)生尤其不公平。

（二）難度較大的地方有兩處

1.探究活動(dòng)中給出的提示忽視了學(xué)生原有知識(shí)基礎(chǔ)，超出了學(xué)生能力。解決等腰直角三角形三邊關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，教材引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)格子的方法通過(guò)計(jì)算面積相等，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形三邊的關(guān)系。而在解決一般直角三角形三邊關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，教材給出了一個(gè)提示：以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形面積等于某個(gè)正方形面積減去4個(gè)直角三角形的面積。應(yīng)該說(shuō)這種方法和中國(guó)流傳最廣的那張弦圖的證法如出一轍，是很經(jīng)典的一種證法?？伤诖藭r(shí)出現(xiàn)，卻給絕大多數(shù)的學(xué)生搭建了一個(gè)無(wú)法爬上的梯子。教材的提示直接給了方法，而這種方法需要的能力，學(xué)生并不具備，于是學(xué)生就不會(huì)做。即使在老師的引導(dǎo)下做了也很難留下深刻的記憶。這個(gè)地方卡住了，下面就很難學(xué)會(huì)了。怎樣讓學(xué)生比較容易地學(xué)會(huì)呢？學(xué)生們此時(shí)仍需用數(shù)格子的方法解決這一問(wèn)題。而新的問(wèn)題是出現(xiàn)了形狀不統(tǒng)一、面積不相等的不完整的格子，把這些格子數(shù)清成為關(guān)鍵！不論大小，不管形狀，每一個(gè)不滿的格子都按半格數(shù)是一種簡(jiǎn)便的方法。學(xué)生會(huì)做，但不知為什么要這樣做。而給出下圖的提示有助于學(xué)生數(shù)清這些格子，并從原理上弄明白三角形與矩形的面積關(guān)系，從而弄明白教材提示的“某個(gè)正方形”是個(gè)在什么位置的正方形。學(xué)生弄懂了這些，下文趙爽的證法就不顯得那么難懂了。

2.教材為了弘揚(yáng)我國(guó)古代成就介紹了趙爽的證法，包括趙爽弦圖和利用弦圖證明勾股定理的基本思路。把兩個(gè)靠在一起的正方形拼成一個(gè)大正方形是一個(gè)圖形變化過(guò)程，它是動(dòng)態(tài)的。靠書(shū)上幾幅靜止的圖和一段邏輯嚴(yán)密的文字來(lái)表述，不容易讓學(xué)生看懂。好多學(xué)生費(fèi)了半天勁兒看懂了，也無(wú)法像其他證明題一樣用“因?yàn)?、所以”把證明過(guò)程清晰地寫(xiě)出來(lái)。這就讓原本簡(jiǎn)單明了的證法變得繁雜難懂了。而趙爽弦圖下的知識(shí)鏈接――“趙爽指出：按弦圖，又可以勾股相乘為朱實(shí)二，倍之為朱實(shí)四。以勾股之差自相乘為中黃實(shí)。加差實(shí)，亦成弦實(shí)?！焙苊黠@也是勾股定理的證法，而且是學(xué)生可以用代數(shù)式寫(xiě)出來(lái)的證法。相比之下，這一證法反而顯得簡(jiǎn)單且易被學(xué)生接受。但是只引用了古文，沒(méi)有把古文翻譯成現(xiàn)代漢語(yǔ)。以初二學(xué)生應(yīng)有的水平去讀，學(xué)生看不懂。

趙爽的證法夠簡(jiǎn)單，但不是最簡(jiǎn)單的。學(xué)生更容易看懂教材30頁(yè)上標(biāo)注的“傳說(shuō)中的畢達(dá)哥拉斯的”證法。在兩張全等的正方形紙上用八個(gè)全等的直角三角形拼出下面的圖形。學(xué)生很容易就弄懂了左圖的以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積等于右圖的兩個(gè)小正方形的面積的和。計(jì)算面積就證出了勾股定理。學(xué)生說(shuō)這種證明小學(xué)生也能看懂。學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人。我們的教材不應(yīng)該只是寫(xiě)給老師看的，更應(yīng)該是寫(xiě)給學(xué)生看的。學(xué)生看得懂的教材才是最好的教材。

（三）教材在史料表述上有不嚴(yán)謹(jǐn)之處

1.有關(guān)畢達(dá)哥拉斯的部分相傳、傳說(shuō)各出現(xiàn)一次?！跋鄠?、傳說(shuō)”這一類詞似不宜在數(shù)學(xué)書(shū)中出現(xiàn)，因?yàn)槿狈Τ浞肿C據(jù)。中國(guó)流傳最廣的證法是在有格子的圖上進(jìn)行的。而畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的歐幾里德通過(guò)證明三角形全等來(lái)證明面積相等進(jìn)而證明直角三角形三邊關(guān)系，與格子無(wú)關(guān)。

2.趙爽的生存年代在教材上注為漢代，在教師用書(shū)上又多次注為三國(guó)。雖然漢代和三國(guó)時(shí)間緊連，但還是統(tǒng)一說(shuō)法為好。

3.中國(guó)人在公元前1100年發(fā)現(xiàn)勾股定理，畢達(dá)哥拉斯在2500多年前發(fā)現(xiàn)。乍一看好像畢達(dá)哥拉斯比中國(guó)人早，而實(shí)際上2500多年前是公元前500年前，比公元前1100年晚了600年。這兩個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)該使用統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。

4.公元前1100年這一數(shù)據(jù)是采用了周公的年代。周公是周武王的弟弟，是商末周初杰出的政治家和軍事家，被尊為儒學(xué)奠基人，也是孔子一生最崇敬的古代圣人之一?！吨荀滤憬?jīng)》的第一部分就是周公與商高的對(duì)話。而根據(jù)《周髀算經(jīng)》的記載大禹時(shí)期已開(kāi)始使用勾股定理了。大禹在他的兒子啟建立夏朝之前，即大約公元前2070年之前。所以英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員、劍橋大學(xué)岡維爾和凱厄斯學(xué)院院長(zhǎng)李約瑟認(rèn)為“我們現(xiàn)在不能像畢甌那樣肯定地說(shuō)它比畢達(dá)哥拉斯（公元前530年著稱）早五、六個(gè)世紀(jì)，但也沒(méi)有很多理由把它推遲，而且它也很可能還要更早的?！?/p>

5.教材上把那個(gè)小學(xué)生都能看得懂的證明歸在了畢達(dá)哥拉斯的名下。而美國(guó)的謝爾曼?克?斯坦因在《數(shù)字的力量》一書(shū)中注明這種證法是中國(guó)人的。同一種證法總得有足夠的證據(jù)才能定下歸屬。中國(guó)古書(shū)留傳不多，畢達(dá)哥拉斯也沒(méi)有著作流傳下來(lái)。歐幾里德《幾何原本》的證法和上面的證法沒(méi)有關(guān)聯(lián)。趙爽的證法和上面的證法也聯(lián)系不大。那么商高的證法呢？商高的那段話“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩。矩出于九九八十一。故折矩以為勾廣三、股修四、徑隅五。既方其外，半之一矩，環(huán)而共盤。得成三四五，兩矩共長(zhǎng)二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數(shù)之所生也?！笔遣皇枪垂啥ɡ淼淖C法？我們一般人確實(shí)很難懂。好在中國(guó)有人讀懂了，并復(fù)原了證法的圖。

從這些圖中我們挑出中間的和右側(cè)的兩幅，把中間的那幅補(bǔ)成正方形――這不就是那種最簡(jiǎn)單的證法嘛！或者說(shuō)商高的證法和這種證法有明顯的傳承關(guān)系――那種最簡(jiǎn)單的證法脫胎于商高的證法。商高的年代比畢達(dá)哥拉斯早很多，即使畢達(dá)哥拉斯也有同樣的證法，我們也可以理直氣壯地說(shuō)這種證法是中國(guó)人先發(fā)現(xiàn)的。我們的教材可以把這種證法放在最顯著的位置上，明確地標(biāo)注這種證法起源于中國(guó)。國(guó)際上對(duì)勾股定理的命名我們可能改不了，可我們有義務(wù)讓學(xué)生知道中國(guó)古代的科學(xué)技術(shù)領(lǐng)先其他國(guó)家很多年，屬于中國(guó)的知識(shí)產(chǎn)權(quán)我們不能拱手讓人。

二、對(duì)內(nèi)容編排的建議

篇6

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)史；勾股定理；教育價(jià)值

數(shù)學(xué)史對(duì)于數(shù)學(xué)教育的價(jià)值已不僅僅停留在理論層面的討論. 翻閱近兩年的數(shù)學(xué)教育類雜志可以發(fā)現(xiàn)，越來(lái)越多的中小學(xué)數(shù)學(xué)教師也在撰文闡述自己在教學(xué)中使用數(shù)學(xué)史的一些體會(huì)和教學(xué)案例. 在課程改革不斷深入的當(dāng)下，數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)于踐行課改的理念，培養(yǎng)全面發(fā)展有理想、有道德的高素質(zhì)數(shù)學(xué)人才等方面確實(shí)有著積極的推進(jìn)作用. 本文將給出一個(gè)基于數(shù)學(xué)史的勾股定理教學(xué)設(shè)計(jì)思路，旨在拋磚引玉，期待一線教師在不斷加強(qiáng)自身數(shù)學(xué)史修養(yǎng)的同時(shí)，開(kāi)發(fā)出更多基于數(shù)學(xué)史的優(yōu)秀教學(xué)案例.

提出問(wèn)題

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方. 此定理在西方叫做畢達(dá)哥拉斯定理，相傳，這是由古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯及其徒眾發(fā)現(xiàn)的，后人更渲染其事，說(shuō)畢達(dá)哥拉斯諸人十分重視這項(xiàng)發(fā)現(xiàn)，特地宰了一百頭牛向天神奉獻(xiàn)答謝，所以中世紀(jì)時(shí)這條定理被稱作“百牛定理”. 在歷史上，這條定理的名稱特別多，在不同時(shí)代、不同地區(qū)都有不同的名稱，包括“木匠定理”“新娘之椅”等. 古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在公元前300年左右編寫(xiě)了著名的經(jīng)典之作《幾何原本》，其中一個(gè)定理就是畢達(dá)哥拉斯定理：

“在直角三角形中，直角所對(duì)的邊上的正方形等于夾直角兩邊上正方形的和.”

接下來(lái)的這個(gè)定理是畢達(dá)哥拉斯定理的逆定理：

“如果在一個(gè)三角形中，一邊上的正方形等于這個(gè)三角形另外兩邊上正方形的和，則夾在后兩邊之間的角是直角.”

這兩個(gè)定理合起來(lái)說(shuō)明了直角三角形a，b，c三邊的平方和關(guān)系：a2+b2=c2，界定了直角三角形.

我國(guó)是最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的國(guó)家，據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，我國(guó)數(shù)學(xué)家早在公元前1120年就對(duì)勾股定理有了明確認(rèn)識(shí). 勾股定理從發(fā)現(xiàn)到現(xiàn)在已有五千年的歷史，在西方，它被稱為畢達(dá)哥拉斯定理，但它的發(fā)現(xiàn)時(shí)間卻比中國(guó)人晚了幾百年. 勾股定理是把直角三角形與三邊長(zhǎng)的數(shù)量關(guān)系聯(lián)系在一起，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.

定理的證明

在新課程人教版教材（八年級(jí)下冊(cè)）中，先是引用畢達(dá)哥拉斯的故事引出勾股定理，然后利用中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”證明了勾股定理. “弦圖”是以弦為邊長(zhǎng)的正方形，在“弦圖”內(nèi)作四個(gè)相等的勾股形，各以正方形的邊長(zhǎng)為弦. “弦圖證法”是依據(jù)“出入相補(bǔ)原理”，根據(jù)“以直角三角形斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積與四個(gè)三角形的面積之和等于外正方形的面積”來(lái)證明勾股定理的. 趙爽的“弦圖證法”表現(xiàn)了我國(guó)古人對(duì)數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，它是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，正因如此，這個(gè)圖案被選為2002年北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽.

[圖1]

引導(dǎo)學(xué)生探索其他解法

上述是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”證法，即利用“以直角三角形斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積與四個(gè)三角形的面積之和等于外正方形的面積”來(lái)證明勾股定理. 這一方法給我們一定的啟示，即圍繞面積相等這一條，把原圖形拆成幾部分，然后根據(jù)面積相等實(shí)現(xiàn)定理的證明. 教師可以提示學(xué)生圍繞這一觀點(diǎn)，探索其他證明方法，學(xué)生提供的證法有可能和歷史上大數(shù)學(xué)家的證法一致.

歷史上的經(jīng)典證明方法展示

發(fā)現(xiàn)勾股定理迄今已有五千年，五千多年來(lái)，世界上幾個(gè)文明古國(guó)都相繼發(fā)現(xiàn)和研究過(guò)這個(gè)定理，幾千年來(lái)，人們給出了勾股定理的許多證法，有人統(tǒng)計(jì)，現(xiàn)在世界上已找到四百多種證法，下面列舉其中具有數(shù)學(xué)思想的一些代表性證明方法. 如（1）歐幾里得《幾何原本》的證法；（2）比例證法；（3）另一種弦圖證法；（4）總統(tǒng)證法；（5）帕斯卡拉二世的證明；（6）畢達(dá)哥拉斯的證法；（7）旋轉(zhuǎn)證法. 限于篇幅，這些證明方法的證明過(guò)程在本文中省略不寫(xiě).

基于上述分析，不難發(fā)現(xiàn)，歷史上的勾股定理證明方法很多，據(jù)統(tǒng)計(jì)，有400多種，向?qū)W生展示不同的證明方法有很多益處，具體表現(xiàn)在：首先，給出勾股定理的多種證法，并非是比較證法之優(yōu)劣，而是為了豐富教與學(xué)的內(nèi)容知識(shí)，這也是數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)重要的功能之一. 其次，通過(guò)比較、分析各種證法的特色，可以讓教師和學(xué)生在教與學(xué)上有所比較，以達(dá)到取長(zhǎng)補(bǔ)短. 通過(guò)分析各種證法之不同，可以發(fā)現(xiàn)他們各自對(duì)于圖形的依賴程度也不相同. 當(dāng)我們?cè)噲D理解某個(gè)版本的證法時(shí)，就好比與這位數(shù)學(xué)家進(jìn)行對(duì)話，從而產(chǎn)生自我“歷史詮釋”. 再次，歷史上的勾股定理證法還使我們認(rèn)識(shí)到該如何呈現(xiàn)定理及其證明，以便可以兼顧到各個(gè)面向. 在教學(xué)中，若以歷史文本為師，適時(shí)引入古人的原始想法，擷取前人的智慧，乃至前人所犯的錯(cuò)誤，相信對(duì)于數(shù)學(xué)思想的發(fā)展與學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程能有更貼近的牟合，也能讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有更全面的觀照. 最后，基于數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)教學(xué)所追求的目標(biāo)之一，正是讓學(xué)生在通過(guò)歷史文本解決問(wèn)題的過(guò)程中獲得學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，因此，數(shù)學(xué)歷史文本中的任何地方可能都有意想不到的金礦等待挖掘，唯有辛勤發(fā)掘才可能使我們滿載而歸.

問(wèn)題的推廣

下面我們換個(gè)角度看勾股定理，定理會(huì)變成什么樣呢？

推廣一：勾股定理的不同表述方式

（1）直角三角形斜邊長(zhǎng)度的平方等于兩個(gè)直角邊長(zhǎng)度的平方之和.

（2）直角三角形斜邊上的正方形等于直角邊上的兩個(gè)正方形.

（3）直角三角形直角邊上兩個(gè)正方形的面積之和等于斜邊上正方形的面積.

推廣二：“出入相補(bǔ)”原理的應(yīng)用

所謂“出入相補(bǔ)”原理，是指一個(gè)幾何圖形（平面的或立體的）被分割成若干部分后，面積或體積的總和保持不變. 綜觀歷史上有關(guān)勾股定理的證明方法，許多證法都是利用這一原理進(jìn)行的，只是圖形的分合移補(bǔ)略有不同而已. “出入相補(bǔ)”原理是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家發(fā)明的一個(gè)證明幾何圖形面積和體積的非常重要的方法，下面，我們通過(guò)比較兩個(gè)證明來(lái)說(shuō)明某些問(wèn)題.

趙爽和達(dá)?芬奇的證明方法（如圖2所示）：

[圖2：勾股定理的兩種幾何證明]

問(wèn)題：這兩種方法的聯(lián)系是什么？

解答：如圖3所示.

[圖3：兩種證明的聯(lián)系]

可以看出，趙爽和達(dá)?芬奇對(duì)勾股定理的證明都使用了“出入相補(bǔ)”原理. 這兩種來(lái)自不同時(shí)期、不同地域的方法背后有著更本質(zhì)的聯(lián)系，正因?yàn)檫@種本質(zhì)聯(lián)系，讓我們找到了更多類似的證明方法. 它也展示了數(shù)學(xué)內(nèi)部的一種聯(lián)系. 正如韋爾斯在《數(shù)學(xué)與聯(lián)想》一書(shū)中所說(shuō)的：“這就是為什么數(shù)學(xué)強(qiáng)有力的一個(gè)理由. 數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)表面不同的問(wèn)題實(shí)際上是相同的，因此他只要解決一個(gè)也就解決了另一個(gè). 認(rèn)識(shí)到一百萬(wàn)個(gè)問(wèn)題‘實(shí)質(zhì)上’都是相同的，因此，你只要解決一個(gè)就解決了一百萬(wàn)個(gè). 事實(shí)上，這就是力量！”我們的數(shù)學(xué)讀本，應(yīng)該多多向?qū)W生介紹這方面的內(nèi)容，讓學(xué)生感受這種力量，去認(rèn)識(shí)事物之間的聯(lián)系.

推廣三：把直角三角形三邊上的正方形改為一般的直線形

若把以直角三角形為邊長(zhǎng)的正方形改為一般的直線形，勾股定理就推廣為：直角三角形斜邊上的直線形（任何形狀）的面積，等于兩條直角邊上與它相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)相似的直線形的面積之和（如圖4所示）.

[圖4]

推廣四：把直角三角形三邊上的直線形改為曲邊形

若把直角三角形三邊上的相似直線形改為三個(gè)半圓，勾股定理就推廣為：以斜邊為直徑的半圓，其面積等于分別以兩條直角邊為直徑所作半圓的面積和. 新課程（人教版八年級(jí)下冊(cè)）在習(xí)題中體現(xiàn)了這一推廣：（習(xí)題18.1“拓展探索”問(wèn)題11）：如圖5所示，直角三角形三條邊上的三個(gè)半圓之間有什么關(guān)系？

[圖5][2][1]

若把上述斜邊上的半圓沿斜邊翻一個(gè)身，此時(shí)顯然有“1和2的面積之和等于直角三角形的面積”. 其實(shí)這個(gè)結(jié)論早在公元前479年就已經(jīng)由古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底得到，因1和2部分狀如弦月，故稱“希波克拉底月形”. 新課程（人教版八年級(jí)下冊(cè)）在習(xí)題中體現(xiàn)了這一推廣（習(xí)題18.1“拓展探索”問(wèn)題12）：如圖5所示，直角三角形的面積是20，求圖中1和2的面積之和.

推廣五：勾股定理與費(fèi)馬大定理

勾股定理是直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，寫(xiě)出公式就是a2+b2=c2. 丟番圖的名作《算術(shù)》（第2卷問(wèn)題8）中有一個(gè)與勾股定理類似的問(wèn)題：將一個(gè)已知的平方數(shù)分為兩個(gè)平方數(shù). 丟番圖在《算術(shù)》中以實(shí)例形式給出了這一問(wèn)題的解答. 之所以在此獨(dú)獨(dú)提到丟番圖的這一問(wèn)題，是因?yàn)?，大約16個(gè)世紀(jì)以后，正是在這一問(wèn)題的啟發(fā)下，費(fèi)馬在其旁白處寫(xiě)下了一段邊注，從而誕生了一個(gè)讓整個(gè)數(shù)學(xué)界為之苦思冥想了三百多年的問(wèn)題. 費(fèi)馬在閱讀巴歇校訂的丟番圖《算術(shù)》時(shí)，做了如下批注：“不可能將一個(gè)立方數(shù)寫(xiě)成兩個(gè)立方數(shù)之和；或者將一個(gè)四次冪寫(xiě)成兩個(gè)四次冪之和；或者，一般地，不可能將一個(gè)高于2次的冪寫(xiě)成兩個(gè)同樣次冪的和. 我已找到了一個(gè)奇妙的證明，但書(shū)邊太窄，寫(xiě)不下. ”1670年，費(fèi)馬之子薩謬爾連同其父的批注一起出版了巴歇校訂的書(shū)的第二版，遂使費(fèi)馬這一猜想公之于世. 費(fèi)馬究竟有沒(méi)有找到證明已成為數(shù)學(xué)史上的千古之謎. 從那時(shí)起，為了“補(bǔ)出”這條定理的證明，數(shù)學(xué)家們花費(fèi)了三個(gè)多世紀(jì)的心血，直到1994年才由維爾斯給出證明.

推廣六：勾股數(shù)

不言而喻，所謂勾股數(shù)，是指能夠構(gòu)成直角三角形三條邊的三個(gè)正整數(shù)（a，b，c），它們滿足a2+b2=c2. 那么如何尋找更多的勾股數(shù)呢，方法如下.

1. 任取兩個(gè)正整數(shù)m，n（m>n），那么，a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2構(gòu)成一組勾股數(shù).

2. 若勾股數(shù)組中的某一個(gè)數(shù)已經(jīng)確定，可用如下方法確定另兩個(gè)數(shù)：首先觀察已知數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù).

（1）若已知數(shù)是大于1的奇數(shù)，把它平方后拆成相鄰的兩個(gè)整數(shù)，那么奇數(shù)與這兩個(gè)整數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù).

（2）若已知數(shù)是大于2的偶數(shù)，把它除以2后再平方，然后把這個(gè)平方數(shù)分別減1和加1所得的兩個(gè)整數(shù)與這個(gè)偶數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù).

練習(xí)題：限于篇幅，僅列一題.

練習(xí)題 今有立木，系索其末委地三尺，引索卻行去本八尺而索盡，問(wèn)索長(zhǎng)幾何？（該題出自南宋楊輝《詳解九章算法》，公元1261年）

現(xiàn)代文翻譯：有一根直立的木頭，一條繩索系在它的頂端. 已知這條繩索比木頭長(zhǎng)3尺，現(xiàn)在向后緊拉繩索，使它的另一端著地，這時(shí)繩索與木的距離為8尺，問(wèn)這條繩索的長(zhǎng)為多少？

原書(shū)“術(shù)”曰：“以去本自乘，另如委數(shù)兒一，所得加委地?cái)?shù)而半之，即索長(zhǎng).”

篇7

在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，而是通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生渴望新知識(shí)，經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，體驗(yàn)應(yīng)用知識(shí)的快樂(lè)，從而使學(xué)生變被動(dòng)接受為主動(dòng)探究，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望和信心。為此，本節(jié)課主要設(shè)計(jì)了三個(gè)活動(dòng)。活動(dòng)一：?jiǎn)酒饘W(xué)生對(duì)新知識(shí)的渴望。學(xué)生為了解決現(xiàn)實(shí)生活中的一個(gè)樸實(shí)、可親、有趣的問(wèn)題，不斷碰到困難，并不斷在發(fā)現(xiàn)中解決，思維探究活躍，好奇心和探索欲望被激起?；顒?dòng)二：學(xué)生在探索中體驗(yàn)快樂(lè)。探索“勾股定理”是本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)。在整個(gè)探索過(guò)程中教師只是一個(gè)引導(dǎo)者、啟發(fā)者，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手、觀察、思考、實(shí)驗(yàn)、探索與交流；學(xué)生在整個(gè)活動(dòng)中切身體驗(yàn)到發(fā)現(xiàn)“勾股定理”的快樂(lè)。從而培養(yǎng)了學(xué)生的探索精神和合作交流能力。活動(dòng)三：學(xué)生在問(wèn)題設(shè)計(jì)中鞏固勾股定理。本節(jié)課是勾股定理的第一課，知識(shí)的應(yīng)用比較簡(jiǎn)單，學(xué)生設(shè)計(jì)問(wèn)題有一定的可行性。引導(dǎo)學(xué)生在掌握勾股定理的基礎(chǔ)上自己設(shè)計(jì)問(wèn)題，完善問(wèn)題，并從老師的高度進(jìn)行變題，學(xué)生的主體性得到了充分的體現(xiàn)。整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)遵循“重視預(yù)設(shè)、期待生成”的原則。

二、教學(xué)過(guò)程與反思

1.第一次試上，由我獨(dú)立備課，從開(kāi)始備課到上課結(jié)束，始終有兩個(gè)疑問(wèn)沒(méi)有得到很好解決。一是如何引出勾股定理。教學(xué)過(guò)程是讓學(xué)生在正方形網(wǎng)格上畫(huà)一個(gè)兩條直角邊a、b分別是3厘米和4厘米的直角三角形，量一下斜邊長(zhǎng)c是多少?緊接著讓學(xué)生觀察直角三角形的三條邊在大小上有什么關(guān)系。事實(shí)上，由于缺乏足夠的材料，而且量得的結(jié)果可能不一定是整數(shù)，因此很難得出正確的結(jié)論。另外，也有學(xué)生在探究時(shí)，根據(jù)兩邊和大于第三邊得出a+b>c這個(gè)結(jié)論，認(rèn)為這也是直角三角形三條邊之間的關(guān)系，這便偏離了教師預(yù)先設(shè)定的學(xué)習(xí)目標(biāo)。二是勾股定理的證明。解決的方案:采用教材提供的方法，即教參上所說(shuō)的數(shù)形結(jié)合的方法。通過(guò)恒等變形（a+b）2=4×12ab+c2，在教師的引導(dǎo)下作出聯(lián)想，將四個(gè)全等的直角三角形拼在邊長(zhǎng)為（a+b）的正方形當(dāng)中，中間又是一個(gè)正方形，而它的面積正好是c2，從而得出a2+b2=c2。其中的難點(diǎn)在于，讓學(xué)生自己很自然地想到用拼圖證明，對(duì)于大多數(shù)學(xué)生來(lái)講，做到這一點(diǎn)幾乎是不可能的。教師只能帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行變形、聯(lián)想、拼圖等一系列的教學(xué)活動(dòng)。教師的講授時(shí)間明顯多于學(xué)生的探究時(shí)間，盡管教師一直在講，但是其中的來(lái)龍去脈還是很難交代清楚。第一次反思：（1）教師的講授時(shí)間多于學(xué)生的探究時(shí)間原因在于：憑學(xué)生已有的知識(shí)尚無(wú)能力探究這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生“一路走來(lái)”只能回答“是”“對(duì)”，思維屢屢受阻，心智活動(dòng)暴露在無(wú)所依托的危機(jī)之中。（2）備課時(shí)，教師就發(fā)現(xiàn)了難點(diǎn)所在，但直到具體實(shí)施時(shí)仍束手無(wú)策，心有余而力不足，無(wú)法引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有意義的自主探究，這與教師自身的經(jīng)驗(yàn)不足有很大關(guān)系。（3）教師不僅要抓住教學(xué)中的難點(diǎn)，更要找到化解難點(diǎn)的辦法。為學(xué)生向既定的探究目標(biāo)邁進(jìn)鋪設(shè)適當(dāng)?shù)闹R(shí)階梯，當(dāng)憑自己的能力無(wú)法做到時(shí)，應(yīng)向?qū)＜艺?qǐng)教，及時(shí)有效地解決教學(xué)中存在的問(wèn)題，使自己在教法上能有所改進(jìn)。2.第二次上課通過(guò)集體備課，大家集思廣益，針對(duì)前面兩個(gè)難點(diǎn)重點(diǎn)設(shè)計(jì)，基本上解決了原有的問(wèn)題。設(shè)計(jì)方案是:將整個(gè)教學(xué)過(guò)程分成八節(jié)，每一節(jié)都清晰地展現(xiàn)在學(xué)生面前。（1）創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，設(shè)疑鋪墊。情景展示：小強(qiáng)家正在裝修新房，周日，小強(qiáng)家買了一批邊長(zhǎng)為2.1米的正方形木板，想搬進(jìn)寬1.5米，高2米的大門，小強(qiáng)橫著放，豎著放都沒(méi)能將木板搬進(jìn)屋內(nèi)，你能幫他解決這個(gè)問(wèn)題嗎？（2）以1955年發(fā)行的畢達(dá)哥拉斯紀(jì)念郵票為背景，觀察圖形，你發(fā)現(xiàn)了什么？并說(shuō)說(shuō)你的理由。圖一圖二（3）以小方格背景，任意畫(huà)一個(gè)頂點(diǎn)在格點(diǎn)上的直角三角形，并分別以這個(gè)直角三角形的各邊為一邊向外作正方形，剛才你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論還成立嗎？其中斜放的正方形面積如何求，由學(xué)生探討。（介紹割與補(bǔ)的方法）（圖一）（4）如圖二，任意直角三角形ABC為邊向外作正方形，上面的猜想仍成立嗎？用四個(gè)全等的直角三角形拼圖驗(yàn)證。（5）介紹一些有關(guān)勾股定理的史料（趙爽的弦圖、世界數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)、華羅庚建議用“勾股定理”的圖作為與外星人聯(lián)系的信號(hào)等），讓學(xué)生感受到勾股定理的歷史之悠久，激起學(xué)生的民族自豪感。（6）應(yīng)用新知，解決問(wèn)題。①解決剛才“門”的問(wèn)題，前后呼應(yīng)；②直角三角形兩邊為3和4，則第三邊長(zhǎng)是%%。例：一塊長(zhǎng)約120步，寬約50步的長(zhǎng)方形草地，被不自覺(jué)的學(xué)生沿對(duì)角線踏出了一條斜路，類似的現(xiàn)象時(shí)有發(fā)生，請(qǐng)問(wèn)同學(xué)們回答：①走“斜路”的客觀原因是什么？為什么？②“斜路”比正路近多少？這么幾步近路，值得用我們的聲譽(yù)作為代價(jià)換取嗎？（7）設(shè)計(jì)問(wèn)題，揭示本質(zhì)。請(qǐng)學(xué)生概括用上述勾股定理解決問(wèn)題的實(shí)質(zhì)：已知兩邊求第三邊長(zhǎng)，并請(qǐng)學(xué)生設(shè)計(jì)能用勾股定理解決的簡(jiǎn)單問(wèn)題。（8）感情收獲，鞏固拓展。①本節(jié)課你有哪些收獲？②本節(jié)課你最感興趣的是什么地方？③你還想進(jìn)一步研究什么問(wèn)題？說(shuō)明:（1）通過(guò)具體的生活情景，激起了學(xué)生對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)興趣，使他們急于想知道直角三角形的三邊到底存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系，激發(fā)了他們的好奇心和求知欲。（2）學(xué)會(huì)了在小方格的背景下，用割補(bǔ)法求出郵票中斜放的正方形R的面積，同時(shí)為勾股定理的引出做好了充分的準(zhǔn)備，為學(xué)生進(jìn)行有意義的探究做好了鋪墊。（3）證明方法可以說(shuō)已經(jīng)擺在這里，但由于前面的教學(xué)中計(jì)算強(qiáng)調(diào)過(guò)多，而忽略了計(jì)算原理，致使撤去小方格背景時(shí)，學(xué)生在證明時(shí)出現(xiàn)障礙，想不到補(bǔ)4個(gè)直角三角形，或割成四個(gè)直角三角形和一個(gè)正方形計(jì)算斜放的正方形面積。為了解決這個(gè)問(wèn)題，本節(jié)課在定理證明時(shí)有意用拼圖的方法再次驗(yàn)證勾股定理。（4）由于是勾股定理的第一課，應(yīng)用較簡(jiǎn)單，學(xué)生設(shè)計(jì)具有一定的可行。引導(dǎo)學(xué)生在掌握定理的基礎(chǔ)上自己設(shè)計(jì)問(wèn)題，完善問(wèn)題，并從老師的高度變題，學(xué)生的主體性得到了最好的發(fā)揮。第二次反思：（1）當(dāng)猜想出直角三角形三邊數(shù)量關(guān)系時(shí)，是不足以讓學(xué)生信服的，因?yàn)椴孪霑r(shí)直角三角形的三邊均為整數(shù)，學(xué)生可能還存在疑慮：當(dāng)直角邊的長(zhǎng)不是整數(shù)時(shí)，情況又如何呢？所以讓學(xué)生從理性上確信這個(gè)猜想是必不可少的環(huán)節(jié)。為此，設(shè)計(jì)了任意三邊的直角三角形是否存在這個(gè)問(wèn)題。（2）去掉背景和具體數(shù)值，在證明字母為邊的直角三角形的勾股定理時(shí)，主要是沒(méi)有了正方形網(wǎng)格作背景，學(xué)生不能快速產(chǎn)生正確的思維遷移，不易想到用割補(bǔ)法證勾股定理。但是前面有了郵票問(wèn)題做鋪墊，學(xué)生很自然地會(huì)聯(lián)想到用割或補(bǔ)的方法計(jì)算以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積，從而得出了一般的直角三角形的情況，獲得了勾股定理。如此設(shè)計(jì)，對(duì)于執(zhí)教者來(lái)講，最大的好處在于可以使學(xué)生的思維過(guò)程顯性化，有利于教師對(duì)學(xué)生進(jìn)行過(guò)程性評(píng)價(jià)，有利于及時(shí)指導(dǎo)學(xué)生在思維過(guò)程中存在的細(xì)節(jié)問(wèn)題，還有利于教師進(jìn)行教學(xué)過(guò)程的改進(jìn)。（3）在做勾股定理練習(xí)時(shí)，采用開(kāi)放式教學(xué)法，由學(xué)生自己出題自己解決，既鞏固新知識(shí)，又提高他們的學(xué)習(xí)興趣。但由于學(xué)生在已知直角三角形的任意兩邊，求第三邊時(shí)，不知道一個(gè)數(shù)開(kāi)平方這一知識(shí)，會(huì)出現(xiàn)第三邊不會(huì)算的情況。關(guān)于這點(diǎn)，我課前早有預(yù)料：如果有這種情況出現(xiàn)，就為下堂課做好鋪墊；如果沒(méi)出現(xiàn)這種情況，老師上課時(shí)也不提。（4）在課堂小結(jié)時(shí)一改先前一貫做法，三個(gè)問(wèn)題結(jié)束本節(jié)課。特別是后兩個(gè)問(wèn)題，當(dāng)時(shí)學(xué)生是這么回答的：我最感興趣的地方是割補(bǔ)法證明勾股定理；畢達(dá)哥拉斯怎么會(huì)從地磚上發(fā)現(xiàn)勾股定理的，我們平時(shí)也要多觀察生活；我想知道勾股定理還有哪些證明方法；我想知道我的這副三角板中，如果已知一條邊，能不能求出另外兩條邊。聽(tīng)課的老師們深深地被學(xué)生的這些問(wèn)題感染了，情不自禁地給予了贊揚(yáng)。這樣的總結(jié)設(shè)計(jì)，把所學(xué)的知識(shí)形成了一個(gè)知識(shí)鏈，為每位學(xué)生都創(chuàng)造了獲得成功體驗(yàn)的機(jī)會(huì)，并為不同程度的學(xué)生提供了充分展示自己的機(jī)會(huì)，尊重了學(xué)生的個(gè)體差異，滿足了學(xué)生多樣化的學(xué)習(xí)需要。特別是最后一個(gè)問(wèn)題，把本課知識(shí)從課內(nèi)延伸到了課外，真正使不同的人得到了不同的發(fā)展。（5）學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中舊問(wèn)題解決，而新問(wèn)題產(chǎn)生，使我真正認(rèn)識(shí)到上好勾股定理這一堂課是不容易的。課改幾年來(lái)雖然理念上有所轉(zhuǎn)變，但要真正在課堂上能運(yùn)用自如，還需要不斷實(shí)踐。幾個(gè)問(wèn)題間的過(guò)渡語(yǔ)言，也是不斷地修改，甚至一個(gè)問(wèn)題要怎么問(wèn)，問(wèn)了后學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)哪些想法都做好了預(yù)設(shè)準(zhǔn)備，更制定了應(yīng)急方案。

三、教學(xué)理念的升華

篇8

一、隱性分層教學(xué)法的案例

1.教學(xué)案例1對(duì)蘇教版初中二年級(jí)（八年級(jí)）上學(xué)期第二章第一節(jié)：勾股定理的課程進(jìn)行案例分析.教學(xué)目標(biāo)：了解勾股定理的內(nèi)容，掌握勾股定理的來(lái)源和應(yīng)用，學(xué)會(huì)利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算與證明.教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用多種方法證明勾股定理.教學(xué)步驟如下所示.（1）設(shè)立情景，導(dǎo)入知識(shí).利用多媒體課件，播放我國(guó)從東漢開(kāi)始的勾股定理研究成果，對(duì)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙君卿進(jìn)行介紹，對(duì)古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯對(duì)勾股定理的運(yùn)用進(jìn)行介紹，引導(dǎo)學(xué)生在畢達(dá)哥拉斯對(duì)地磚的思考中進(jìn)行思考，提問(wèn)學(xué)生三角形三邊的關(guān)系，再引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)三角形三邊的關(guān)系思考直角三角形三邊的關(guān)系，建立起勾股定理的概念，即：在直角三角形中，兩條直角邊的長(zhǎng)度的平方和等于斜邊長(zhǎng)度的平方，并強(qiáng)調(diào)“勾”和“股”的概念.案例分析：在隱性分層教學(xué)模式中，利用多媒體吸引學(xué)生，將知識(shí)與生動(dòng)的故事或者圖片聯(lián)系起來(lái)，能夠充分調(diào)動(dòng)起學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性.案例中利用故事或者圖片的形式制造了一個(gè)積極向上的學(xué)習(xí)引子，幫助學(xué)生進(jìn)行知識(shí)的引導(dǎo)，建立引起學(xué)生興趣的問(wèn)題，把學(xué)生引入一種與勾股定理有關(guān)的氛圍當(dāng)中.（2）不同學(xué)生，不同學(xué)習(xí)方法.對(duì)勾股定理進(jìn)行初步掌握之后，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)勾股定理的證明進(jìn)行思考，試著讓學(xué)生自己來(lái)對(duì)勾股定理進(jìn)行提問(wèn)，教師選擇中等生與差等生問(wèn)問(wèn)題，根據(jù)教學(xué)進(jìn)度，可由優(yōu)等生或者教師自己進(jìn)行講解.在趙君卿的證明方法中，教師利用多媒體進(jìn)行習(xí)題的證明訓(xùn)練，如圖1所示，在圖1中，將a、b作為直角邊，c為斜邊，且b＞a，作出四個(gè)全等的直角三角形，每個(gè)三角形的面積等于ab的一半，這四個(gè)直角三角形就如圖1所示.教師此時(shí)對(duì)優(yōu)等生進(jìn)行點(diǎn)撥，同時(shí)引導(dǎo)中等生進(jìn)行勾股定理的證明，并啟發(fā)差等生對(duì)圖形的觀察，建立勾股定理的概念.在中等生對(duì)勾股定理進(jìn)行證明之后，教師對(duì)優(yōu)等生和中等生進(jìn)行提問(wèn)，啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用更多的證明方法進(jìn)行證明.案例分析：在本案例中，教師采取了圖形的形式來(lái)幫助學(xué)生理解勾股定理，學(xué)生在圖形的拼接之中親自證明勾股定理，有助于學(xué)生加深對(duì)勾股定理的認(rèn)識(shí)，而在一開(kāi)始選擇中等生與差等生問(wèn)問(wèn)題，更有普遍意義，不僅使中等生與差等生了解了其不明白的地方，更鞏固了優(yōu)等生的知識(shí)，其實(shí)讓差等生提問(wèn)，提高了其學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使其更好地融入課堂，教師可根據(jù)差等生的提問(wèn)控制講課節(jié)奏，不至于講課難度過(guò)高，而使差等生與中等生跟不上知識(shí)點(diǎn)的講解，自我放棄學(xué)習(xí).本案例中教師通過(guò)重視中等生與差等生的提問(wèn)，讓學(xué)生真正地成為教學(xué)的主體.教學(xué)的目標(biāo)是為了增進(jìn)學(xué)生的主體性，教學(xué)過(guò)程隨學(xué)習(xí)內(nèi)部矛盾而展開(kāi)，是學(xué)生的自我教育、自我活動(dòng)和自我拓潛的過(guò)程.（3）定理運(yùn)用，夯實(shí)知識(shí).教師利用多媒體進(jìn)行習(xí)題播放，從難度較為簡(jiǎn)單的習(xí)題開(kāi)始練習(xí)，教師提問(wèn)差等生回答較為基礎(chǔ)的勾股定理知識(shí)，并對(duì)其進(jìn)行鼓勵(lì)與肯定.在習(xí)題的解答中演示習(xí)題解答的正確書(shū)寫(xiě)方式，糾正學(xué)生的錯(cuò)誤，肯定學(xué)生的表現(xiàn).隨著習(xí)題難度的加大，提問(wèn)中等生，并鼓勵(lì)優(yōu)等生說(shuō)出自己的看法和理解，形成整個(gè)課堂對(duì)習(xí)題的研究氛圍.教師在課后對(duì)學(xué)生的表現(xiàn)進(jìn)行分析，對(duì)于差等生的學(xué)習(xí)狀態(tài)更要重視，以鼓勵(lì)和激發(fā)興趣為主，對(duì)于中等生，要以激勵(lì)學(xué)習(xí)熱情、指導(dǎo)學(xué)習(xí)重點(diǎn)和技巧為主，對(duì)于優(yōu)等生，要進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)內(nèi)容拔高，提升其知識(shí)掌握水平.案例分析：教師在課堂上對(duì)知識(shí)進(jìn)行鞏固訓(xùn)練，對(duì)差等生提問(wèn)，更能知曉全班學(xué)生的知識(shí)掌握基礎(chǔ)水平，了解差等生的學(xué)習(xí)困難所在.中等生、差等生、優(yōu)等生對(duì)課堂知識(shí)的總結(jié)與討論顯示出了隱性分層教學(xué)離不開(kāi)團(tuán)隊(duì)的合作，在學(xué)習(xí)知識(shí)中自由地結(jié)合成小組進(jìn)行個(gè)人想法的匯總與分析，使學(xué)生在相互交流分析的基礎(chǔ)上，掌握和了解知識(shí)的內(nèi)涵，或者找到解決問(wèn)題的方法和途徑.在交流和協(xié)作的過(guò)程中，不僅將問(wèn)題解決了，也得到了團(tuán)隊(duì)合作的方式，對(duì)別人的發(fā)言學(xué)會(huì)了理解和尊重，學(xué)會(huì)了合作的意義.

2.教學(xué)案例2對(duì)蘇教版初中一年級(jí)（七年級(jí)）上學(xué)期第五章第二節(jié)：圖形的變化案例分析.教學(xué)目標(biāo)：了解平面圖形如何變化成為立體圖形，了解點(diǎn)線、線面的原理，了解簡(jiǎn)單圖形如何拼成復(fù)雜的圖形.教學(xué)難點(diǎn)：培養(yǎng)學(xué)生對(duì)圖形空間的想象力.教學(xué)步驟如下所示.（1）真實(shí)實(shí)驗(yàn)，導(dǎo)入知識(shí).教師在講臺(tái)上做實(shí)驗(yàn)，請(qǐng)學(xué)生安靜觀看，將教科書(shū)圍繞著其中的一條邊旋轉(zhuǎn)了一周，請(qǐng)學(xué)生回答形成了什么圖形.請(qǐng)中等生回答，答曰：圓柱形.接著教師用一枚硬幣進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，提問(wèn)學(xué)生形成了什么圖形.提問(wèn)差等生，答曰：球形.教師接著開(kāi)始宣講課本中“點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面”的原理，學(xué)生由于觀察了實(shí)驗(yàn)，印象更加深刻，教師此時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)這種現(xiàn)象進(jìn)行討論，并鼓勵(lì)學(xué)生舉出更多的例子證明這個(gè)原理，有意識(shí)地將優(yōu)等生、中等生和差等生的問(wèn)題集中回答，分組時(shí)注意每組都有優(yōu)、中、差等生.案例分析：教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計(jì)出不同的問(wèn)題，以完成一個(gè)又一個(gè)具體的“問(wèn)題”為教學(xué)線索，把教學(xué)的內(nèi)容巧妙地隱藏在每個(gè)“問(wèn)題”之中，學(xué)生在教師的指導(dǎo)下提出解決問(wèn)題的具體思路和方法，然后進(jìn)行具體的操作，教師引導(dǎo)學(xué)生邊學(xué)邊完成相應(yīng)的任務(wù)，就是讓學(xué)生在一個(gè)個(gè)典型信息處理“問(wèn)題”驅(qū)動(dòng)下，開(kāi)展協(xié)作學(xué)習(xí)活動(dòng)，由教師引導(dǎo)并幫助學(xué)生由簡(jiǎn)到繁、從易到難、循序漸進(jìn)地完成一系列教學(xué)任務(wù).（2）巧提問(wèn)，多互動(dòng).教師拿出一張長(zhǎng)方形的紙，提問(wèn)學(xué)生：能不能只剪一條線就將長(zhǎng)方形的紙變成兩部分，使這兩部分的圖形能拼接成梯形？鼓勵(lì)學(xué)生分小組討論，每個(gè)小組中都有優(yōu)、中、差三類學(xué)生.選擇其中一組的差等生上臺(tái)展示自己拼接的梯形，教師予以鼓勵(lì)肯定.接著教師再提問(wèn)有人還能繼續(xù)拼接出三角形、平行四邊形嗎？教師鼓勵(lì)學(xué)生親自動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，并選擇另外一組的中等生上臺(tái)回答.教師在學(xué)生回答之后，引入課題知識(shí)，學(xué)生加深理解，教師在學(xué)生高漲的熱情中肯定學(xué)生們的想象力，并設(shè)計(jì)更有難度的提問(wèn)：如何在一張圓形的紙片上，只剪一次，剪出一個(gè)四邊形呢？在小組討論中，教師可以根據(jù)情況適當(dāng)提示，之后選擇一組中的優(yōu)等生回答問(wèn)題.案例分析：有效性是問(wèn)題設(shè)計(jì)的前提條件，因材施教，在設(shè)計(jì)的過(guò)程中既要著重基礎(chǔ)的教學(xué)應(yīng)用，對(duì)優(yōu)秀的學(xué)生應(yīng)當(dāng)適當(dāng)?shù)匕胃?，而?duì)于中等生和差等生可以設(shè)置不一樣的問(wèn)題.對(duì)于同一個(gè)班的不同的學(xué)生，同樣也可以根據(jù)知識(shí)接受能力的不同而設(shè)置不同層次的應(yīng)用，保證絕大部分學(xué)生能夠基本完成學(xué)習(xí)任務(wù)，而對(duì)于那些能力稍強(qiáng)的又可以從創(chuàng)新的角度給予其設(shè)計(jì)應(yīng)用，這種符合學(xué)生特點(diǎn)的應(yīng)用設(shè)計(jì)既保證了學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，又發(fā)展了學(xué)生的個(gè)性.

二、結(jié)語(yǔ)

篇9

一、數(shù)學(xué)文化的基本含義和基本特征

數(shù)學(xué)文化是一種基本的文化形態(tài)，屬于科學(xué)文化的范疇，而且在科學(xué)文化中占有極為重要的地位。數(shù)學(xué)文化作為人類基本的文化活動(dòng)之一，與人類文化處于統(tǒng)一的整體之中。數(shù)學(xué)文化，廣義地講，可以表述為以數(shù)學(xué)科學(xué)為核心，以數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、內(nèi)容等所輻射的相關(guān)文化領(lǐng)域?yàn)橛袡C(jī)組成部分的一個(gè)具有特定功能的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。它的基本要素是數(shù)學(xué)，以及與數(shù)學(xué)有關(guān)的各種文化對(duì)象。其系統(tǒng)內(nèi)部相互作用的方式是多向的和交叉的，包括數(shù)學(xué)以其內(nèi)在力量推動(dòng)文化的進(jìn)步和數(shù)學(xué)從相關(guān)文化中汲取動(dòng)力和養(yǎng)分。數(shù)學(xué)文化具有很強(qiáng)的綜合性。數(shù)學(xué)文化涉及的基本文化領(lǐng)域包括哲學(xué)、藝術(shù)、各門自然科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、教育學(xué)、思維科學(xué)，等等。

數(shù)學(xué)文化除具有文化的普遍特征外，還有其獨(dú)有的特征，這些特征既是數(shù)學(xué)文化區(qū)別于其他文化形態(tài)的主要方面，又是對(duì)數(shù)學(xué)文化本質(zhì)的進(jìn)一步揭示。（1）數(shù)學(xué)文化是傳播人類思想的一種基本方式；（2）數(shù)學(xué)文化包含著人類所創(chuàng)造語(yǔ)言的高級(jí)形式；（3）數(shù)學(xué)文化是自然與社會(huì)相互聯(lián)系的一個(gè)尺度；（4）數(shù)學(xué)文化具有相對(duì)的穩(wěn)定性和連續(xù)性；（5）數(shù)學(xué)文化具有高度的滲透性和無(wú)限的發(fā)展可能性。

二、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透“數(shù)學(xué)文化”的幾種方法

1.教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史，感受數(shù)學(xué)的博大精深。

在數(shù)學(xué)課堂中適當(dāng)介紹數(shù)學(xué)史，既可以增強(qiáng)趣味性，又能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

例如：在“勾股定理”的教學(xué)中可以介紹“勾股定理”的相關(guān)背景資料。教師問(wèn)：勾股定理是“人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一”，是初等幾何中的一個(gè)基本定理。那么大家知道多少勾股定理的別稱呢？學(xué)生回答：畢達(dá)哥拉斯定理，商高定理，百牛定理，驢橋定理和埃及三角形等。所謂勾股定理，就是指“在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方?！边@個(gè)定理有十分悠久的歷史，幾乎所有文明古國(guó)（希臘、中國(guó)、埃及、巴比倫、印度等）對(duì)此定理都有所研究。勾股定理在西方被稱為畢達(dá)哥拉斯定理，相傳是古希臘數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯于公元前550年首先發(fā)現(xiàn)的。中國(guó)最早的一部數(shù)學(xué)著作――《周髀算經(jīng)》對(duì)“勾股定理”就有記載。這個(gè)原理是大禹在治水的時(shí)候就總結(jié)出來(lái)的，如果說(shuō)大禹治水因年代久遠(yuǎn)而無(wú)法確切考證的話，記載中周公與商高的對(duì)話則可以確定是在公元前1100年左右的西周時(shí)期，比畢達(dá)哥拉斯要早了五百多年。其中所說(shuō)的勾3股4弦5，正是勾股定理的一個(gè)應(yīng)用特例。所以現(xiàn)在數(shù)學(xué)界把它稱為“勾股定理”是非常恰當(dāng)?shù)摹Ｍㄟ^(guò)以上知識(shí)的介紹，學(xué)生會(huì)對(duì)“勾股定理”產(chǎn)生濃厚的興趣，從而拉近學(xué)生和數(shù)學(xué)的距離。

2.介紹數(shù)學(xué)中的美學(xué)，以數(shù)學(xué)美激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

“哪里有數(shù)，哪里就有美”。數(shù)學(xué)中充滿著美的因素。數(shù)學(xué)中的美學(xué)包括以下幾方面：對(duì)稱性、簡(jiǎn)單性、統(tǒng)一性和奇異性。利用數(shù)學(xué)美進(jìn)行教學(xué)，能促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)的興趣。例如楊輝三角便是一幅美麗的對(duì)稱圖案（教師可以展示證明圖形）。又如黃金分割比≈0.618被譽(yù)為“人間最巧的比例”，是對(duì)稱和諧美典型的例子，許多著名建筑廣泛采用黃金分割的比例。

數(shù)學(xué)家蒲豐用投針試驗(yàn)求π的近似值是數(shù)學(xué)方法奇異性的一個(gè)典型例子。1777年某日，蒲豐做了個(gè)奇特的試驗(yàn)，他事先在白紙上畫(huà)好了一條條有等距離的平行線，又拿出一些質(zhì)量均勻，長(zhǎng)度為平行線距離之半的小針，請(qǐng)客人一根根把針順便仍到紙上結(jié)果共投2212次，其中與平行線相交的有704次，≈3.142，然后宣布這就是π的近似值。這一新穎的計(jì)算π的方法，充分顯示了數(shù)學(xué)的奇異美。

3.各學(xué)科相互滲透，使教學(xué)內(nèi)容多元化。

高度抽象的數(shù)學(xué)只有與其他學(xué)科結(jié)合，才會(huì)顯得生動(dòng)、具體、形象，學(xué)生才會(huì)樂(lè)學(xué)、愛(ài)學(xué)。數(shù)學(xué)文化可以通過(guò)與其他學(xué)科的結(jié)合得以應(yīng)用。例如在“概率”部分，我們可以選擇與生物學(xué)科有關(guān)聯(lián)的例子：“遺傳”方面如何求生兒生女的可能性的大小，子女的血型，等等。這樣既使學(xué)生豐富了知識(shí)，增長(zhǎng)了見(jiàn)識(shí)，又極大地提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

4.聯(lián)系實(shí)際滲透數(shù)學(xué)文化，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

數(shù)學(xué)源于生活，其理論核心都包含在人們的生產(chǎn)、生活之中。但是數(shù)學(xué)又高于生活，是對(duì)現(xiàn)象本質(zhì)規(guī)律的高度抽象概括。這一切都促使我們教師必須把先人們?cè)跀?shù)學(xué)探索歷程中有文化價(jià)值的思想方法加以濃縮和加工，并且在課堂中每個(gè)關(guān)鍵的環(huán)節(jié)上適時(shí)充分地利用直觀具體的實(shí)例，喚起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的激情，實(shí)現(xiàn)認(rèn)識(shí)上的飛躍。因此在應(yīng)用的切入點(diǎn)處滲透數(shù)學(xué)文化有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。

例如“一元一次方程”的應(yīng)用題，可選擇生活中熟悉的“換啤酒問(wèn)題”：小明的父親從商店買回10瓶啤酒，商店規(guī)定3個(gè)空瓶可換回一瓶啤酒，若小明的父親不再給錢，他一共可喝上多少瓶啤酒？其解法是：10瓶喝完，可換回三瓶；再喝完，則剩余4個(gè)空瓶，又換回一瓶，喝后剩下2個(gè)空瓶，此時(shí)借進(jìn)1空瓶，則又可換回1瓶，喝完后歸還所借1空瓶，總計(jì)可喝15瓶。此過(guò)程中“一借”可謂巧，若我們采用代數(shù)法，設(shè)一共可喝x瓶，則空瓶又可換瓶，由題意得：10+=x，解得x=15。無(wú)需“借”，真是妙。其實(shí)這里僅采用了“一元一次方程”這一簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，就很方便地解決了我們身邊的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，學(xué)生看了無(wú)不稱奇。通過(guò)文化層面來(lái)設(shè)計(jì)問(wèn)題情境，將會(huì)使數(shù)學(xué)問(wèn)題變得富有“人情味”，同時(shí)也激發(fā)學(xué)生探究的熱情，使數(shù)學(xué)課堂變得妙趣橫生。

以數(shù)學(xué)應(yīng)用為切入點(diǎn)的數(shù)學(xué)文化滲透，將數(shù)學(xué)問(wèn)題賦予生活內(nèi)涵，一方面深化了學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，另一方面增強(qiáng)了學(xué)生關(guān)注社會(huì)和關(guān)注人類發(fā)展的意識(shí)。在問(wèn)題解決中，學(xué)生能感到數(shù)學(xué)就在生活中。學(xué)生通過(guò)對(duì)一些既熟悉又陌生的問(wèn)題的研究，感受到了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，進(jìn)而增強(qiáng)了應(yīng)用數(shù)學(xué)意識(shí)。

總之，當(dāng)數(shù)學(xué)通過(guò)文化層面的滲透進(jìn)入教材、到達(dá)課堂、融入教學(xué)時(shí)，數(shù)學(xué)就會(huì)更加“平易近人”。當(dāng)學(xué)生不再為了考試而學(xué)習(xí)，才會(huì)真正理解數(shù)學(xué)、喜歡數(shù)學(xué)，并逐步形成良好的思維品質(zhì)。

參考文獻(xiàn)：

［1］張新建.新課程與數(shù)學(xué)老師.中國(guó)教育創(chuàng)新教師論壇，人民日?qǐng)?bào)出報(bào)社.

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關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)開(kāi)放題；實(shí)踐；評(píng)析

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-0568（2013）18-0121-02

適當(dāng)開(kāi)展數(shù)學(xué)開(kāi)放題的教學(xué)不但是平常教學(xué)的有效補(bǔ)充，而且也是與當(dāng)前新課改的要求相適應(yīng)的，是培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐、探究與創(chuàng)新能力的重要方式方法，因而對(duì)初中數(shù)學(xué)開(kāi)放題教學(xué)的研究是非常有意義的。

一、適當(dāng)進(jìn)行開(kāi)放題的教學(xué)非常有必要

從新課標(biāo)的內(nèi)容和要求來(lái)看，它加強(qiáng)了數(shù)學(xué)與學(xué)生平時(shí)生活的聯(lián)系。如：張師傅想造一張長(zhǎng)200cm，寬40cm的桌面，但目前身邊的材料是長(zhǎng)300cm，寬60cm的木板，問(wèn)怎樣將木板裁剪，最后能制成長(zhǎng)200cm，寬40cm的桌面，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出裁剪方案。就與學(xué)生平時(shí)的生活聯(lián)系得很緊密。新課標(biāo)的內(nèi)容和要求體現(xiàn)在數(shù)學(xué)問(wèn)題中，就是內(nèi)容和形式逐步開(kāi)放，不局限于書(shū)本，注重學(xué)科之間的聯(lián)系。筆者對(duì)七年級(jí)人教版的教材作了統(tǒng)計(jì)，其中開(kāi)放題占了19.5%，其所占比例還是比較大的。這些都為教師開(kāi)展開(kāi)放題教學(xué)提供了很好的素材，也為培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)參與、積極探究的習(xí)慣提供了有利條件。

二、數(shù)學(xué)開(kāi)放題的案例剖析

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容中，不但有概念的教學(xué)，還有公式與定理的教學(xué)。因此，應(yīng)該想辦法將這兩方面的內(nèi)容與開(kāi)放題進(jìn)行有機(jī)地融合。開(kāi)放題的特點(diǎn)決定了其教學(xué)過(guò)程不可能事先完全清楚，因?yàn)閷W(xué)生的思維與創(chuàng)新能力非常強(qiáng)，教師不可能將各種情況都事先想到，而應(yīng)視具體情況具體分析。因此，為了更好地說(shuō)明開(kāi)放題的教學(xué)實(shí)踐，本文給出了教學(xué)案例。

案例：勾股定理的教學(xué)

1.教學(xué)目標(biāo)：在學(xué)生動(dòng)手操作，自主探究的基礎(chǔ)上，掌握勾股定理的結(jié)構(gòu)特征，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐、合作交流以及數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)能力。

2.教學(xué)過(guò)程。

（1）教師提出問(wèn)題：現(xiàn)在給你4個(gè)全等的直角三角形，你能不重疊、沒(méi)有縫隙地拼出一個(gè)正方形嗎？（開(kāi)放題①）

（2）學(xué)生積極動(dòng)手操作實(shí)踐，自主探究，合作交流，得出以下方法：①以直角三角形的斜邊為拼成的正方形的邊長(zhǎng)，如圖1。②以直角三角形兩條直角邊的和為大正方形的邊長(zhǎng)，如圖2。

（3）若圖中直角三角形的兩條直角邊為a與b，斜邊為c，可用哪些方式表達(dá)幾何圖形的面積：①直接用正方形的面積公式，在圖①中大正方形的面積為C2。在圖②中正方形的面積為（a+b）2。②也可用4個(gè)小直角三角形的面積與中間的一個(gè)小正方形求和來(lái)解。在圖①中大正方形的面積為：4×■ab+（b-a）2。在圖②中大正方形的面積為：4×■ab+c2。

（4）結(jié)合圖①與圖②以及剛才所得到關(guān)系式，你能發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系嗎？

（5）學(xué)生基于剛才的活動(dòng)得出它們應(yīng)該相等，有如下等式：（a+b）2=4×■ab+c2或者c2=4×■ab+（b-a）2。

（6）教師：將以上式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，你能說(shuō)出它們的特點(diǎn)嗎？（開(kāi)放題②）

（7）學(xué)生在緊張的思考后得出：a2+b2=c2，它有如下特點(diǎn)：①左邊是兩邊的平方和，右邊是斜邊的平方。

②a、b、c是直角三角形的邊長(zhǎng)。③它反映的是直角三角形中所特有的三邊關(guān)系。

（8）你能仿照這個(gè)等式，再舉出幾個(gè)例子，滿足以上關(guān)系嗎？（開(kāi)放題③）

（9）學(xué)生很快找出常見(jiàn)勾股數(shù)：32+42=52，62+82=102，92+122=152，82+152=172，52+122=132，72+242=252，92+402=412，等等。

（10）教師：對(duì)于以上的等式a2+b2=c2（a、b、c為直角三角形的三邊長(zhǎng)且C為斜邊），就是幾何中非常著名的定理――勾股定理，你還有別的方法證明它的正確性嗎？

（11）學(xué)生提出可用兩個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)直角梯形來(lái)證明。

（12）教師拿出題板，給出鞏固提高題。

（13）學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，解完鞏固訓(xùn)練題后提問(wèn)：勾股定理的使用條件是什么？（開(kāi)放題④）

（14）學(xué)生回答如下：①只有在直角三角形中才成立；②兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；③對(duì)于三邊關(guān)系不能用錯(cuò)。

（15）根據(jù)以上回答，教師進(jìn)一步提問(wèn)：勾股定理中的a、b還可以表示什么？（開(kāi)放題⑤）

（16）學(xué)生回答：可以代表數(shù)字、單個(gè)字母、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式。

（17）教師提出問(wèn)題：你能構(gòu)造出可用勾股定理解決的實(shí)際問(wèn)題嗎？（開(kāi)放題⑥）

學(xué)生各抒己見(jiàn)，發(fā)表自己的觀點(diǎn)。

3.教學(xué)評(píng)析：

（1）本課例用到的開(kāi)放題有結(jié)論開(kāi)放（開(kāi)放題②③④⑤），策略開(kāi)放（開(kāi)放題①），綜合開(kāi)放（開(kāi)放題⑥）

（2）教學(xué)過(guò)程的（1）～（5）是勾股定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，強(qiáng)調(diào)關(guān)注學(xué)生的思維。開(kāi)放題①的作用是展示給學(xué)生耳目一新的問(wèn)題情境，使其能夠體會(huì)到不同的方式方法帶來(lái)的不同解題效果，由此既讓學(xué)生對(duì)勾股定理的形式有所感知，又為下一步問(wèn)題的深化作了鋪墊。

（3）環(huán)節(jié)⑥～⑩是對(duì)定理的進(jìn)一步升華，開(kāi)放題①的作用是引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，自主探究，從而使學(xué)生印象深刻。開(kāi)放題②③的作用是培養(yǎng)學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)與概括能力，從而帶動(dòng)學(xué)生積極思考，但此時(shí)學(xué)生的思考尚處于比較淺的層次，舉出的例子變化少。

（4）環(huán)節(jié)（11）是定理的再次探索，問(wèn)題注重對(duì)學(xué)生舉一反三能力的訓(xùn)練，為下面的開(kāi)放題④作準(zhǔn)備。

（5）環(huán)節(jié)（12）～（17）是定理的概括、延伸過(guò)程。開(kāi)放題④⑤引導(dǎo)學(xué)生對(duì)勾股定理進(jìn)行回顧，反思定理的本質(zhì)，形成對(duì)勾股定理的完整認(rèn)識(shí)。開(kāi)放題⑥實(shí)際是整節(jié)課的回顧與總結(jié)，同時(shí)避免了乏味的單調(diào)練習(xí)。

對(duì)于以上案例，筆者只是截取了教學(xué)實(shí)踐中的某個(gè)部分來(lái)說(shuō)明概念及定理與公式這兩方面的教學(xué)是如何展開(kāi)的。

三、結(jié)論

筆者的教學(xué)實(shí)踐表明：開(kāi)放題教學(xué)能使學(xué)生在自己原有的認(rèn)知基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的主動(dòng)建構(gòu)，能促使學(xué)生獨(dú)立思考，大膽質(zhì)疑，勇于探索，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，提高其學(xué)習(xí)興趣。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉兼，孫曉天.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2002.